El concepto devalores propioses oscuro pero resulta muy útil para los matemáticos y científicos físicos que se enfrentan a ciertos problemas interesantes.
Para comprender un valor propio, imagine tener una función (por ejemplo,y = X2 + 6X, oy= log 4X) que podría someter a algún proceso de modo que el resultado sea el mismo que multiplicar toda la función por un valor constante. Tal función calificaría como unafunción propiay la constante sería un valor propio.
- "Eigen" significa "igual" en alemán.
Para comprender mejor los valores propios y las funciones propias, y poder calcular los valores propios usted mismo, necesita una comprensión básica de las matrices. Estos trucos matemáticos se utilizan para determinar, por ejemplo, el orden de enlace de NO2 (dióxido de nitrógeno) y otras moléculas, porque el comportamiento de los electrones en los átomos está determinado por funciones de onda que califican como funciones propias.
¿Qué es una matriz?
Una matriz es una matriz de números ordenados en filas y columnas, que pueden ser de 1 a
norte. Las dimensiones de las matrices se dan fila por columna; por ejemplo, la siguiente es una matriz de 2 por 3:\ begin {bmatrix} 3 & 0 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \\ \ end {bmatrix}
Las matrices se pueden sumar si son del mismo tamaño (es decir, tienen el mismo número de filas y el mismo número de columnas). También se pueden multiplicar juntos mediante un proceso escalonado en las mismas condiciones. Además, cualquier matriz se puede multiplicar por un vector, que es un 1 pornorteonorte-por-1 matriz; esto incluye otros vectores.
¿Qué es una ecuación de valor propio?
Di que tienes unnorte-por-norteo matriz "cuadrada"A, un distinto de ceronorte-por-1 vectorvy un escalarλ, de manera que se satisfaga la siguiente ecuación:
\ bold {Av} = λ \ bold {v}
Cualquier valor deλpara el cual esta ecuación tiene una solución se conoce como un valor propio de la matrizA.
No dejes que tu mente trate las expresiones anteriores como producto.Aes unoperadoren, o una transformación lineal de, el vectorv, este cálculo es posible sólo porqueAyvAmbos tienennortefilas.
¿Por qué utilizar funciones de valor propio?
La derivación es complicada, pero en química atómica, el operador hamiltoniano "H-bar" se usa para expresar la energía cinética y potencial de un sistema:
\ hat H = - \ dfrac {ℏ} {2m} ∇ ^ 2 + \ hat V (x, y, z)
Esto se usa para escribir una forma delEcuación de la función de onda de Schrodingeren mecánica cuántica:
\ hat Hψ (x, y, z) = Eψ (x, y, z)
Aquímirepresenta los valores propios que satisfacen esta ecuación.
Maneras de encontrar los valores propios de una matriz
De la ecuación Av = λv, obtienesA v − λv=0. Esto lleva a:
\ bold {A v} - λ (\ bold {I v}) = 0
DóndeIes la matriz de identidad de 2 por 2 con filas de [λ0] y [0λ], que conduce a 1 cuando se multiplica por el escalarλ. Este resultado produce:
(\ bold {A} - λ \ bold {I}) \ bold {v} = 0
Que sives distinto de cero, solo tiene solución si el valor absoluto deA− λI, o |A − λI|, es cero. Si los hace a mano, implica resolver una ecuación cuadrática y puede resultar tedioso.
Para multiplicar dos matrices juntas, para cada punto en la matriz del producto, multiplica los puntos correspondientes juntos y agregue esto a los productos de los elementos de fila y columna restantes en la fila y columna a la que el nuevo punto pertenece.
Al multiplicar dos matrices de 2 por 2AyBjuntos, si la primera fila deAes [1 3] y la primera columna deBes [2 5], el número en la primera columna y fila de la nueva matriz sería [(1 × 2) + (3 × 5)] = 15, y correspondientemente para los otros tres puntos.
Calcular valores propios en línea
En Recursos, encontrará una herramienta de cálculo de matrices que le permite encontrar valores propios y más para una matriz de casi cualquier tamaño imaginable.