Las ecuaciones son verdaderas si ambos lados son iguales. Las propiedades de las ecuaciones ilustran diferentes conceptos que mantienen iguales ambos lados de una ecuación, ya sea que esté sumando, restando, multiplicando o dividiendo. En álgebra, las letras representan números que no conoces, y las propiedades están escritas en letras para demostrar que, independientemente de los números que conectes, siempre resultará cierto. Podrías pensar en estas propiedades como "reglas de álgebra" que puedes usar para ayudarte a resolver problemas matemáticos.
Propiedades asociativas y conmutativas
Propiedades asociativas y conmutativas ambos tienen fórmulas para sumar y multiplicar. Lapropiedad conmutativa de la sumadice que si suma dos números, no importa en qué orden los ponga. Por ejemplo, 4 + 5 es lo mismo que 5 + 4. La formula es:
a + b = b + a
Cualquier número que conecteayBtodavía hará que la propiedad sea verdadera.
Lapropiedad conmutativa de la multiplicaciónla fórmula lee
a × b = b × a
Esto significa que al multiplicar dos números, no importa qué número ingrese primero. Aún obtendrás 10 si multiplicas 2 × 5 o 5 × 2.
Lapropiedad asociativa de la sumadice que si agrupa dos números y los suma, y luego agrega un tercer número, no importa qué agrupación use. En forma de fórmula, parece
(a + b) + c = a + (b + c)
Por ejemplo
\ text {si} (2 + 3) + 4 = 9 \ text {entonces} 2 + (3 + 4) = 9
De manera similar, si multiplica dos números y luego multiplica ese producto por un tercer número, no importa qué dos números multiplique primero. En forma de fórmula, elpropiedad asociativa de la multiplicaciónparece
(a × b) c = a (b × c)
Por ejemplo, (2 × 3) 4 se simplifica a 6 × 4, que es igual a 24. Si agrupas 2 (3 × 4) tendrás 2 × 12, y esto también te dará 24.
Propiedades matemáticas: transitiva y distributiva
Lapropiedad transitivadice que sia = ByB = C, luegoa = C. Esta propiedad se usa a menudo en la sustitución algebraica. Por ejemplo,
\ text {si} 4x - 2 = y \ text {y} y = 3x + 4 \ text {, entonces} 4x - 2 = 3x + 4
Si sabe que estos dos valores son iguales entre sí, puede resolver paraX. Una vez que sepasX, puedes resolver paraysi necesario.
LaPropiedad distributivale permite deshacerse de los paréntesis si hay un término fuera de ellos, como 2 (X− 4). Los paréntesis en matemáticas indican multiplicación y distribuir algo significa distribuirlo. Entonces, para usar la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis, multiplique el término fuera de ellos porcadatérmino dentro de ellos. Entonces, multiplicarías 2 yXpara conseguir 2Xy multiplicarías 2 por −4 para obtener −8. Simplificado, esto se ve así:
2 (x - 4) = 2x - 8
La fórmula de la propiedad distributiva es
a (b + c) = ab + ac
También puede usar la propiedad distributiva para extraer un factor común de una expresión. Esta frmula es
ab + ac = a (b + c)
Por ejemplo, en la expresión 3X+ 9, ambos términos son divisibles entre 3. Tire del factor hacia afuera del paréntesis y deje el resto adentro: 3 (X + 3).
Propiedades del álgebra para números negativos
Lapropiedad inversa aditivadice que si agrega un número con su versión inversa o negativa, obtendrá cero. Por ejemplo, −5 + 5 = 0. En un ejemplo del mundo real, si le debes a alguien $ 5 y luego recibes $ 5, todavía no tendrás dinero porque tienes que dar esos $ 5 para pagar la deuda. La formula es
a + (−a) = 0 = (−a) + a
Lapropiedad inversa multiplicativadice que si multiplicas un número por una fracción con un uno en el numerador y ese número en el denominador, obtendrás uno:
a × \ frac {1} {a} = 1
Si multiplica 2 por 1/2, obtendrá 2/2. Cualquier número sobre sí mismo es siempre 1.
Propiedades de la negacióndictar la multiplicación de números negativos. Si multiplica un número negativo y positivo, su respuesta será negativa:
(-a) (b) = -ab \ text {y} - (ab) = -ab
Si multiplica dos números negativos, su respuesta será positiva:
- (- a) = a \ text {y} (-a) (- b) = ab
Si tiene un negativo fuera de un paréntesis, ese negativo se adjunta a un 1 invisible. Ese -1 se distribuye a cada término dentro del paréntesis. La formula es
- (a + b) = (-a) + (-b) = - a - b
Por ejemplo
- (x - 3) = -x + 3
porque multiplicar −1 por −3 te dará 3.
Propiedades de cero
Lapropiedad de identidad de la sumaestablece que si agrega cualquier número y cero, obtendrá el número original:
a + 0 = a
Por ejemplo,
4 + 0 = 4
Lapropiedad multiplicativa de ceroestablece que cuando multiplicas cualquier número por cero, siempre obtendrás cero:
a × 0 = 0
Por ejemplo
4 × 0 = 0
Utilizando lapropiedad de producto cero,puede estar seguro de que si el producto de dos números es cero, entonces uno de los múltiplos es cero. La fórmula dice que
\ text {if} ab = 0 \ text {, luego} a = 0 \ text {o} b = 0
Propiedades de las Igualdades
Las propiedades de las igualdades establecen que lo que haces con un lado de la ecuación, debes hacerlo con el otro. Lapropiedad adicional de la igualdadestablece que si tiene un número a un lado, debe agregarlo al otro. Por ejemplo,
\ text {if} 5 + 2 = 3 + 4 \ text {, entonces} 5 + 2 + 3 = 3 + 4 + 3
Lapropiedad de resta de igualdadestablece que si resta un número de un lado, debe restarlo del otro. Por ejemplo,
\ text {si} x + 2 = 2x - 3 \ text {, entonces} x + 2 - 1 = 2x - 3 - 1
Esto te daría
x + 1 = 2x - 4
yXequivaldría a 5 en ambas ecuaciones.
Lapropiedad de multiplicación de la igualdadestablece que si multiplicas un número por un lado, debes multiplicarlo por el otro. Esta propiedad le permite resolver ecuaciones de división. Por ejemplo, si
\ frac {x} {4} = 2
multiplica ambos lados por 4 para obtenerX = 8.
Lapropiedad de la división de la igualdadte permite resolver ecuaciones de multiplicación porque lo que divides en un lado, debes dividir en el otro. Por ejemplo, divide
2x = 8
por 2 en ambos lados, cediendo
x = 4