Antes de comenzar a simplificar o manipular expresiones racionales, tómese un momento para revisar lo que la expresión racional en sí es: Una fracción con un polinomio tanto en el numerador como en el denominador. O, para decirlo de otra manera, una relación de un polinomio a otro. Una vez que haya identificado una expresión racional, el proceso de simplificación se reduce a tres pasos.
Los pasos para simplificar expresiones racionales
El proceso para simplificar funciones racionales sigue una hoja de ruta bastante simple. Lo primero que debes hacer es combinar términos semejantes, si aún no lo has hecho, para ayudarte a ver los polinomios con claridad.
Luego, factoriza cada polinomio. A veces, todo lo que tienes que hacer es escribir todos los términos. Por ejemplo, está claro que 4x (que de hecho es un polinomio, aunque solo tiene un término) tiene dos factores: 4 y X. Pero con polinomios más complicados, su mejor herramienta a menudo es reconocer patrones para tipos específicos de polinomios que ya ha aprendido. Por ejemplo, si ha prestado mucha atención a sus fórmulas, puede recordar que un polinomio de la forma
a2 - B2 factores a (a + b) (a - b).Una vez que los polinomios estén factorizados por completo, el último paso es cancelar cualquier factor común que aparezca tanto en el numerador como en el denominador. El resultado es su polinomio simplificado.
Consejos
¿Qué pasa si los polinomios de su expresión racional no tienen una forma que sepa factorizar fácilmente? Hay otras técnicas que puedes usar para factorizarlos, como completar el cuadrado o usar la fórmula cuadrática.
Una advertencia sobre el denominador
Puede que no te sorprenda saber que hay un pequeño inconveniente aquí. Por lo general, el dominio (o conjunto de posibles X valores) para su expresión racional se supone que es el conjunto de todos los números reales. Pero si algo sucede para hacer que el denominador de su fracción sea cero, el resultado es una fracción indefinida.
¿Qué haría que tu denominador sea cero? Por lo general, un pequeño examen es todo lo que se necesita para averiguarlo. Por ejemplo, si el denominador de su fracción se ha reducido a los factores (x + 2) (x - 2), luego el valor X = -2 haría que el primer factor fuera igual a cero, y X = 2 haría que el segundo factor fuera igual a cero.
Entonces, ambos valores, -2 y 2, deben excluirse del dominio de su expresión racional. Por lo general, anotará esto con el signo "no igual" o ≠. Por ejemplo, si necesita excluir -2 y 2 del dominio, escribiría x ≠ -2, 2.
Simplificación de expresiones racionales: ejemplos
Ahora que comprende el proceso de simplificación de expresiones racionales, es hora de mirar un par de ejemplos.
Ejemplo 1: Simplifica la expresión racional (X2 - 4) / (x2+ 4x + 4)
No hay términos similares para combinar aquí, por lo que puede omitir ese primer paso. A continuación, con sus ojos agudos y un poco de práctica, puede ver que tanto el numerador como el denominador se factorizan fácilmente:
(x + 2) (x - 2) / (x + 2) (x + 2)
Quizás también veas eso (x + 2) es un factor tanto en el numerador como en el denominador. Una vez que cancele el factor compartido, se quedará con:
(x - 2) / (x + 2)
Ha simplificado su expresión racional tanto como ha podido, pero hay una cosa más que hacer: identificar cualquier "ceros" o raíces que resulten en una fracción indefinida, por lo que puede excluirlos de la dominio. En este caso, es fácil ver mediante un examen que cuando X = -2, el factor en la parte inferior será igual a cero. Entonces, su expresión racional simplificada es en realidad:
(x - 2) / (x + 2), x ≠ -2
Ejemplo 2: Simplifica la expresión racional x / (x2 - 4x)
No hay términos similares para combinar, por lo que puede pasar directamente a la factorización mediante un examen. No es demasiado difcil darse cuenta de que puede factorizar un X fuera del término inferior, lo que le da:
x / x (x - 4)
Puede cancelar el X factor tanto del numerador como del denominador, lo que te deja con:
1 / (x - 4)
Ahora su expresión racional está simplificada, pero también necesita anotar cualquier X valores que resultarían en una fracción indefinida. En este caso, X = 4 devolvería un valor de cero en el denominador. Entonces tu respuesta es:
1 / (x - 4), x ≠ 4