Cómo encontrar una ecuación exponencial con dos puntos

Si conoce dos puntos que caen en una curva exponencial particular, puede definir la curva resolviendo la función exponencial general usando esos puntos. En la práctica, esto significa sustituir los puntos por y y x en la ecuación y = ab^X. El procedimiento es más fácil si el valor de x para uno de los puntos es 0, lo que significa que el punto está en el eje y. Si ninguno de los puntos tiene un valor de x cero, el proceso para resolver xey es un poco más complicado.

Muchos sistemas importantes siguen patrones exponenciales de crecimiento y decadencia. Por ejemplo, la cantidad de bacterias en una colonia generalmente aumenta exponencialmente y la radiación ambiental en la atmósfera después de un evento nuclear generalmente disminuye exponencialmente. Al tomar datos y trazar una curva, los científicos están en una mejor posición para hacer predicciones.

Cualquier punto en un gráfico bidimensional se puede representar con dos números, que generalmente se escriben en la forma (x, y), donde x define la distancia horizontal desde el origen e y representa la vertical distancia. Por ejemplo, el punto (2, 3) está dos unidades a la derecha del eje y y tres unidades por encima del eje x. Por otro lado, el punto (-2, -3) está dos unidades a la izquierda del eje y. y tres unidades por debajo del eje x.

Si tiene dos puntos, (x₁, y₁) y (x₂, y₂), puede definir la función exponencial que pasa por estos puntos sustituyéndolos en la ecuación y = ab^X y resolviendo para ay b. En general, debes resolver este par de ecuaciones:

y₁ = ab^x1 y y₂ = ab^x2, .

De esta forma, la matemática parece un poco complicada, pero lo parece menos después de haber hecho algunos ejemplos.

Si uno de los valores de x, diga x₁ - es 0, la operación se vuelve muy simple. Por ejemplo, al resolver la ecuación para los puntos (0, 2) y (2, 4) se obtiene:

2 = ab⁰ y 4 = ab². Como sabemos que b⁰ = 1, la primera ecuación se convierte en 2 = a. Sustituyendo a en la segunda ecuación se obtiene 4 = 2b², que simplificamos ab² = 2, o b = raíz cuadrada de 2, que equivale aproximadamente a 1,41. La función definitoria es entonces y = 2 (1,41)^X.

Si ninguno de los valores de x es cero, resolver el par de ecuaciones es un poco más engorroso. Henochmath nos muestra un ejemplo sencillo para aclarar este procedimiento. En su ejemplo, eligió el par de puntos (2, 3) y (4, 27). Esto produce el siguiente par de ecuaciones:

27 = ab⁴

3 = ab²

Si divide la primera ecuación por la segunda, obtiene

9 = b²

entonces b = 3. Es posible que b también sea igual a -3, pero en este caso, asuma que es positivo.

Puede sustituir este valor por b en cualquier ecuación para obtener a. Es más fácil usar la segunda ecuación, entonces:

3 = a (3)² que se puede simplificar a 3 = a9, a = 3/9 o 1/3.

La ecuación que pasa por estos puntos se puede escribir como y = 1/3 (3)^X.

Desde 1910, el crecimiento de la población humana ha sido exponencial y, al trazar una curva de crecimiento, los científicos están en una mejor posición para predecir y planificar el futuro. En 1910, la población mundial era de 1,75 mil millones y en 2010, de 6,87 mil millones. Tomando 1910 como punto de partida, esto da el par de puntos (0, 1,75) y (100, 6,87). Debido a que el valor x del primer punto es cero, podemos encontrar fácilmente a.

1,75 = ab⁰ o a = 1,75. Colocando este valor, junto con los del segundo punto, en la ecuación exponencial general produce 6.87 = 1.75b¹⁰⁰, que da el valor de b como la centésima raíz de 6,87 / 1,75 o 3,93. Entonces la ecuación se convierte en y = 1,75 (centésima raíz de 3,93)^X. Aunque se necesita más que una regla de cálculo para hacerlo, los científicos pueden usar esta ecuación para proyectar números de población futuros para ayudar a los políticos en el presente a crear políticas apropiadas.