Resolver desigualdades de valor absoluto es muy parecido a resolver ecuaciones de valor absoluto, pero hay un par de detalles adicionales a tener en cuenta. Es útil sentirse cómodo resolviendo ecuaciones de valor absoluto, ¡pero está bien si también las están aprendiendo juntos!
Definición de desigualdad de valor absoluto
En primer lugar, undesigualdad de valor absolutoes una desigualdad que involucra una expresión de valor absoluto. Por ejemplo,
| 5 + x | - 10> 6
es una desigualdad de valor absoluto porque tiene un signo de desigualdad,>, y una expresión de valor absoluto, | 5 +X |.
Cómo resolver una desigualdad de valor absoluto
Lapasos para resolver una desigualdad de valor absolutoson muy parecidos a los pasos para resolver una ecuación de valor absoluto:
Paso 1:Aísle la expresión de valor absoluto en un lado de la desigualdad.
Paso 2:Resuelve la "versión" positiva de la desigualdad.
Paso 3:Resuelve la "versión" negativa de la desigualdad multiplicando la cantidad en el otro lado de la desigualdad por −1 y volteando el signo de desigualdad.
Eso es mucho para asimilar de una vez, así que aquí hay un ejemplo que lo guiará a través de los pasos.
Resuelve la desigualdad paraX:
| 5 + 5x | - 3> 2
Para hacer esto, obtenga | 5 + 5X| por sí mismo en el lado izquierdo de la desigualdad. Todo lo que tienes que hacer es agregar 3 a cada lado:
| 5 + 5x | - 3 + 3> 2 + 3 \\ | 5 + 5x | > 5.
Ahora hay dos "versiones" de la desigualdad que necesitamos resolver: la "versión" positiva y la "versión" negativa.
Para este paso, asumiremos que las cosas son como parecen: que 5 + 5X > 5.
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x> 5
Esta es una simple desigualdad; solo tienes que resolver porXcomo siempre. Resta 5 de ambos lados, luego divide ambos lados entre 5.
\ begin {align} & 5 + 5x> 5 \\ & 5 + 5x - 5> 5-5 \ quad \ text {(restar cinco de ambos lados)} \\ & 5x> 0 \\ & 5x (÷ 5)> 0 (÷ 5) \ quad \ text {(divide ambos lados entre cinco)} \\ & x> 0 \ end {alineado}
¡No está mal! Entonces, una posible solución a nuestra desigualdad es queX> 0. Ahora, dado que hay valores absolutos involucrados, es hora de considerar otra posibilidad.
Para comprender el siguiente bit, es útil recordar qué significa el valor absoluto.Valor absolutomide la distancia de un número desde cero. La distancia es siempre positiva, por lo que 9 está a nueve unidades de cero, pero −9 también está a nueve unidades de cero.
Entonces | 9 | = 9, pero | −9 | = 9 también.
Ahora volvamos al problema anterior. El trabajo anterior mostró que | 5 + 5X| > 5; en otras palabras, el valor absoluto de "algo" es mayor que cinco. Ahora, cualquier número positivo mayor que cinco estará más lejos de cero que cinco. Entonces, la primera opción fue ese "algo", 5 + 5X, es mayor que 5.
Es decir:
5 + 5x> 5
Ese es el escenario abordado anteriormente, en el Paso 2.
Ahora piensa un poco más. ¿Qué más está a cinco unidades de cero? Bueno, cinco menos. Y cualquier cosa más a lo largo de la recta numérica desde menos cinco estará aún más lejos de cero. Entonces, nuestro "algo" podría ser un número negativo que está más lejos de cero que menos cinco. Eso significa que sería un número que suena más grande, pero técnicamentemenos quecinco negativo porque se mueve en la dirección negativa en la recta numérica.
Entonces, nuestro "algo", 5 + 5x, podría ser menor que −5.
5 + 5x
La forma rápida de hacer esto algebraicamente es multiplicar la cantidad en el otro lado de la desigualdad, 5, por uno negativo, luego voltear el signo de desigualdad:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x
Luego resuelva como de costumbre.
\ begin {align} & 5 + 5x
Entonces las dos posibles soluciones a la desigualdad sonX> 0 oX< −2. Compruébalo conectando algunas posibles soluciones para asegurarte de que la desigualdad sigue siendo cierta.
Desigualdades de valor absoluto sin solución
Hay un escenario en el que habríano hay soluciones para una desigualdad de valor absoluto. Dado que los valores absolutos son siempre positivos, no pueden ser iguales o menores que los números negativos.
Entonces |X| sin soluciónporque el resultado de una expresión de valor absoluto tiene que ser positivo.
Notación de intervalos
Para escribir la solución a nuestro ejemplo principal ennotación de intervalos, piensa en cómo se ve la solución en la recta numérica. Nuestra solucion fueX> 0 oX< −2. En una recta numérica, es un punto abierto en 0, con una línea que se extiende hasta el infinito positivo, y un punto abierto en -2, con una línea que se extiende hasta el infinito negativo. Estas soluciones apuntan en sentido opuesto, no hacia la otra, así que tome cada pieza por separado.
Para x> 0 en una recta numérica, hay un punto abierto en cero y luego una recta que se extiende hasta el infinito. En notación de intervalo, un punto abierto se ilustra con paréntesis, (), y un punto cerrado, o las desigualdades con ≥ o ≤, usarían corchetes, []. Así que paraX> 0, escribe (0, ∞).
La otra mitad,X
"O" en notación de intervalo es el signo de unión, ∪.
Entonces la solución en notación de intervalo es
( −∞, −2) ∪ (0, ∞)