En matemáticas, a veces surge la necesidad de probar si las funciones son dependientes o independientes entre sí en un sentido lineal. Si tiene dos funciones que son lineales dependientes, graficar las ecuaciones de esas funciones da como resultado puntos que se superponen. Las funciones con ecuaciones independientes no se superponen cuando se grafican. Un método para determinar si las funciones son dependientes o independientes es calcular el Wronskiano para las funciones.
¿Qué es un wronskiano?
El wronskiano de dos o más funciones es lo que se conoce como determinante, que es una función especial que se usa para comparar objetos matemáticos y probar ciertos hechos sobre ellos. En el caso del wronskiano, el determinante se usa para probar la dependencia o independencia entre dos o más funciones lineales.
La Matriz Wronskiana
Para calcular el Wronskiano para funciones lineales, las funciones deben resolverse para el mismo valor dentro de una matriz que contiene tanto las funciones como sus derivadas. Un ejemplo de esto es
W (f, g) (t) = \ begin {vmatrix} f (t) & g (t) \\ f '(t) & g' (t) \ end {vmatrix}
que proporciona el Wronskian para dos funciones (Fygramo) que se resuelven para un único valor mayor que cero (t); puedes ver las dos funcionesF(t) ygramo(t) en la fila superior de la matriz, y las derivadasF'(t) ygramo'(t) en la fila inferior. Tenga en cuenta que el Wronskian también se puede utilizar para conjuntos más grandes. Si, por ejemplo, prueba tres funciones con un Wronskian, entonces podría completar una matriz con las funciones y derivadas deF(t), gramo(t) yh(t).
Resolviendo el Wronskian
Una vez que tenga las funciones organizadas en una matriz, multiplique cada función por la derivada de la otra función y reste el primer valor del segundo. Para el ejemplo anterior, esto le da
W (f, g) (t) = f (t) g '(t) - g (t) f' (t)
Si la respuesta final es igual a cero, esto muestra que las dos funciones son dependientes. Si la respuesta es diferente de cero, las funciones son independientes.
Ejemplo de Wronskian
Para darle una mejor idea de cómo funciona esto, asuma que
f (t) = x + 3 \ text {y} g (t) = x - 2
Usando un valor det= 1, puedes resolver las funciones como
f (1) = 4 \ text {y} g (1) = -1
Como estas son funciones lineales básicas con una pendiente de 1, las derivadas de ambasF(t) ygramo(t) igual a 1. La multiplicación cruzada de sus valores da a
W (f, g) (1) = (4 + 1) - (-1 + 1)
que proporciona un resultado final de 5. Aunque las funciones lineales tienen la misma pendiente, son independientes porque sus puntos no se superponen. SiF(t) hubiera producido un resultado de -1 en lugar de 4, el wronskiano habría dado un resultado de cero en lugar de indicar dependencia.