Todos los estudiantes de matemáticas y muchos estudiantes de ciencias se encuentran con polinomios en algún momento durante sus estudios, pero afortunadamente son fáciles de manejar una vez que aprendes los conceptos básicos. Las principales operaciones que deberá realizar con las expresiones polinomiales son sumar, restar, multiplicar y dividir, y aunque la división puede ser compleja, la mayoría de las veces podrá manejar los conceptos básicos con facilidad.
Polinomios: definición y ejemplos
Polinomio describe una expresión algebraica con uno o más términos que involucran una variable (o más de uno), con exponentes y posiblemente constantes. No pueden incluir la división por una variable, no pueden tener exponentes negativos o fraccionarios y deben tener un número finito de términos.
Este ejemplo muestra un polinomio:
x ^ 3 + 2 x ^ 2-9 x - 4
Y esto muestra otro:
xy ^ 2-3 x + y
Hay muchas formas de clasificar polinomios, incluso por grado (la suma de los exponentes en el término de mayor potencia, por ejemplo, 3 en el primer ejemplo) y por el número de términos que contienen, como monomios (un término), binomios (dos términos) y trinomios (tres condiciones).
Sumar y restar polinomios
Sumar y restar polinomios depende de la combinación de términos "similares". Un término similar es uno con las mismas variables y exponentes que otro, pero el número por el que se multiplica (el coeficiente) puede ser diferente. Por ejemplo,X2 y 4X 2 son términos semejantes porque tienen la misma variable y exponente, y 2xy 4 y 6xy 4 son términos similares también. Sin embargo,X2, X3, X2y2 yy2 no son términos semejantes, porque cada uno contiene diferentes combinaciones de variables y exponentes.
Suma polinomios combinando términos semejantes de la misma forma que lo harías con otros términos algebraicos. Por ejemplo, mire el problema:
(x ^ 3 + 3 x) + (9 x ^ 3 + 2 x + y)
Recopile los términos similares para obtener:
(x ^ 3 + 9 x ^ 3) + (3 x + 2 x) + y
Y luego evalúe simplemente sumando los coeficientes y combinándolos en un solo término:
10 x ^ 3 + 5 x + y
Tenga en cuenta que no puede hacer nada conyporque no tiene un término similar.
La resta funciona de la misma manera:
(4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y) - (2 x ^ 4 + 2 y ^ 2 + y)
Primero, tenga en cuenta que todos los términos en el corchete de la derecha se restan de los del corchete de la mano izquierda, así que escríbalo como:
4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y - 2 x ^ 4-2 y ^ 2- y
Combine términos semejantes y evalúe para obtener:
(4 x ^ 4 - 2 x ^ 4) + (3 y ^ 2 - 2 y ^ 2) + (6 y - y) = 2 x ^ 4 + y ^ 2 + 5 y
Para un problema como este:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2)
Tenga en cuenta que el signo menos se aplica a toda la expresión en el corchete derecho, por lo que los dos signos negativos antes de 3X2 convertirse en un signo de suma:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2) = 4 xy + x ^ 2-6 xy + 3 x ^ 2
Luego calcule como antes.
Multiplicar expresiones polinomiales
Multiplica expresiones polinómicas usando la propiedad distributiva de la multiplicación. En resumen, multiplique cada término del primer polinomio por cada término del segundo. Mira este sencillo ejemplo:
4 x × (2 x ^ 2 + y)
Resuelve esto usando la propiedad distributiva, entonces:
\ begin {alineado} 4 x × (2 x ^ 2 + y) & = (4 x × 2 x ^ 2) + (4 x × y) \\ & = 8 x ^ 3 + 4 xy \ end {alineado}
Aborde los problemas más complicados de la misma manera:
\ begin {alineado} (2 y ^ 3 + 3 x) × & (5 x ^ 2 + 2 x) \\ & = (2 y ^ 3 × (5 x ^ 2 + 2 x)) + (3 x × (5 x ^ 2 + 2 x)) \\ & = (2 y ^ 3 × 5 x ^ 2) + (2 y ^ 3 × 2 x) + (3 x × 5 x ^ 2) + (3 x × 2 x) \\ & = 10 y ^ 3x ^ 2 + 4 y ^ 3x + 15 x ^ 3 + 6 x ^ 2 \ end {alineado}
Estos problemas pueden complicarse para grupos más grandes, pero el proceso básico sigue siendo el mismo.
División de expresiones polinomiales
La división de expresiones polinomiales lleva más tiempo, pero puede abordarla en pasos. Mira la expresión:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2}
Primero, escribe la expresión como una división larga, con el divisor a la izquierda y el dividendo a la derecha:
x + 2) \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10}
Divida el primer término del dividendo por el primer término del divisor y coloque el resultado en la línea sobre la división. En este caso,X2 ÷ X = X, entonces:
\ begin {alineado} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \ end {alineado}
Multiplica este resultado por el divisor completo, así que en este caso, (X + 2) × X = X2 + 2 X. Pon este resultado debajo de la división:
\ begin {alineado} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \ end {alineado}
Reste el resultado en la nueva línea de los términos directamente encima de él (tenga en cuenta que técnicamente cambia el signo, por lo que si tuviera un resultado negativo, lo agregaría en su lugar) y colóquelo en una línea debajo. Mueva el término final del dividendo original hacia abajo también.
\ begin {alineado} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ end {alineado}
Ahora repita el proceso con el divisor y el nuevo polinomio en la línea inferior. Así que divide el primer término del divisor (X) por el primer término del dividendo (−5X) y poner esto arriba:
\ begin {alineado} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ end {alineado}
Multiplica este resultado (−5X ÷ X= −5) por el divisor original (entonces (X + 2) × −5 = −5 X−10) y coloque el resultado en una nueva línea de fondo:
\ begin {alineado} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \ end {alineado}
Luego reste la línea inferior de la siguiente (en este caso, cambie el signo y agregue), y coloque el resultado en una nueva línea inferior:
\ begin {alineado} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \\ y 0 \ quad 0 \ end {alineado}
Dado que ahora hay una fila de ceros en la parte inferior, el proceso ha finalizado. Si quedaran términos distintos de cero, repetiría el proceso nuevamente. El resultado está en la línea superior, entonces:
\ frac {x ^ 2-3 x - 10} {x + 2} = x - 5
Esta división y algunas otras se pueden resolver de forma más sencilla si se puede factorizar el polinomio en el dividendo.