Los tres métodos más utilizados para resolver sistemas de ecuaciones son la sustitución, la eliminación y las matrices aumentadas. La sustitución y eliminación son métodos simples que pueden resolver de manera efectiva la mayoría de los sistemas de dos ecuaciones en unos pocos pasos sencillos. El método de matrices aumentadas requiere más pasos, pero su aplicación se extiende a una mayor variedad de sistemas.
Sustitución
La sustitución es un método para resolver sistemas de ecuaciones eliminando todas menos una de las variables en una de las ecuaciones y luego resolviendo esa ecuación. Esto se logra aislando la otra variable en una ecuación y luego sustituyendo los valores de estas variables en otra ecuación. Por ejemplo, para resolver el sistema de ecuaciones x + y = 4, 2x - 3y = 3, aísle la variable x en la primera ecuación para obtener x = 4 - y, luego sustituya este valor de y en la segunda ecuación para obtener 2 (4 - y) - 3y = 3. Esta ecuación se simplifica a -5y = -5, o y = 1. Reemplaza este valor en la segunda ecuación para encontrar el valor de x: x + 1 = 4 o x = 3.
Eliminación
La eliminación es otra forma de resolver sistemas de ecuaciones reescribiendo una de las ecuaciones en términos de una sola variable. El método de eliminación logra esto sumando o restando ecuaciones entre sí para cancelar una de las variables. Por ejemplo, sumar las ecuaciones x + 2y = 3 y 2x - 2y = 3 produce una nueva ecuación, 3x = 6 (tenga en cuenta que los términos y se cancelaron). A continuación, el sistema se resuelve utilizando los mismos métodos que para la sustitución. Si es imposible cancelar las variables en las ecuaciones, será necesario multiplicar la ecuación completa por un factor para hacer coincidir los coeficientes.
Matriz aumentada
Las matrices aumentadas también se pueden utilizar para resolver sistemas de ecuaciones. La matriz aumentada consta de filas para cada ecuación, columnas para cada variable y una columna aumentada que contiene el término constante en el otro lado de la ecuación. Por ejemplo, la matriz aumentada para el sistema de ecuaciones 2x + y = 4, 2x - y = 0 es [[2 1], [2 -1]... [4, 0]].
Determinar la solución
El siguiente paso implica el uso de operaciones de fila elementales como multiplicar o dividir una fila por una constante que no sea cero y sumar o restar filas. El objetivo de estas operaciones es convertir la matriz a la forma escalonada de fila, en la que la primera entrada distinta de cero en cada fila es un 1, entradas por encima y por debajo de esta entrada están todos ceros, y la primera entrada distinta de cero para cada fila está siempre a la derecha de todas esas entradas en las filas sobre eso. La forma escalonada de filas para la matriz anterior es [[1 0], [0 1]... [1, 2]]. El valor de la primera variable viene dado por la primera fila (1x + 0y = 1 o x = 1). El valor de la segunda variable viene dado por la segunda fila (0x + 1y = 2 o y = 2).
Aplicaciones
La sustitución y eliminación son métodos más simples para resolver ecuaciones y se usan con mucha más frecuencia que las matrices aumentadas en álgebra básica. El método de sustitución es especialmente útil cuando una de las variables ya está aislada en una de las ecuaciones. El método de eliminación es útil cuando el coeficiente de una de las variables es el mismo (o su equivalente negativo) en todas las ecuaciones. La principal ventaja de las matrices aumentadas es que se pueden utilizar para resolver sistemas de tres o más ecuaciones en situaciones en las que la sustitución y la eliminación son inviables o imposibles.