Los sistemas de ecuaciones pueden ayudar a resolver preguntas de la vida real en todo tipo de campos, desde la química hasta los negocios y los deportes. Resolverlos no es solo importante para sus calificaciones en matemáticas; puede ahorrarle mucho tiempo, ya sea que esté tratando de establecer metas para su negocio o su equipo deportivo.
TL; DR (demasiado largo; No leí)
Para resolver un sistema de ecuaciones graficando, grafica cada línea en el mismo plano de coordenadas y observa dónde se cruzan.
Aplicaciones del mundo real
Por ejemplo, imagina que tú y tu amigo están montando un puesto de limonada. Decides dividir y conquistar, por lo que tu amigo va a la cancha de baloncesto del vecindario mientras tú te quedas en la esquina de la calle de tu familia. Al final del día, reúne su dinero. Juntos, ganaron $ 200, pero su amigo ganó $ 50 más que usted. ¿Cuánto dinero ganó cada uno de ustedes?
O piense en el baloncesto: los tiros realizados fuera de la línea de 3 puntos valen 3 puntos, las canastas realizadas dentro de la línea de 3 puntos valen 2 puntos y los tiros libres solo valen 1 punto. Tu oponente está 19 puntos por delante de ti. ¿Qué combinaciones de cestas podrías hacer para ponerte al día?
Resolver sistemas de ecuaciones graficando
Graficar es una de las formas más sencillas de resolver sistemas de ecuaciones. Todo lo que tienes que hacer es graficar ambas líneas en el mismo plano de coordenadas y luego ver dónde se cruzan.
Primero, necesitas escribir el problema verbal como un sistema de ecuaciones. Asignar variables a las incógnitas. Llame al dinero que ganaYy el dinero que gana tu amigoF.
Ahora tienes dos tipos de información: información sobre cuánto dinero ganaron juntos e información sobre cómo el dinero que ganaron en comparación con el dinero que ganó su amigo. Cada uno de estos se convertirá en una ecuación.
Para la primera ecuación, escribe:
Y + F = 200
ya que su dinero más el dinero de su amigo suman $ 200.
Luego, escribe una ecuación para describir la comparación entre tus ganancias.
Y = F - 50
porque la cantidad que ganaste es 50 dólares menos de lo que ganó tu amigo. También puedes escribir esta ecuación comoY + 50 = F, ya que lo que ganaste más 50 dólares es igual a lo que ganó tu amigo. Estas son diferentes formas de escribir lo mismo y no cambiarán tu respuesta final.
Entonces, el sistema de ecuaciones se ve así:
Y + F = 200 \\ Y = F - 50
A continuación, debe graficar ambas ecuaciones en el mismo plano de coordenadas. Grafica tu cantidad,Y, sobre ely-eje y la cantidad de tu amigo,F, sobre elX-eje (en realidad, no importa cuál es cuál, siempre que los etiquete correctamente). Puede utilizar papel cuadriculado y un lápiz, una calculadora gráfica de mano o una calculadora gráfica en línea.
En este momento, una ecuación está en forma estándar y la otra en forma pendiente-intersección. Eso no es un problema, necesariamente, pero en aras de la coherencia, coloque ambas ecuaciones en forma pendiente-intersección.
Entonces, para la primera ecuación, convierta de la forma estándar a la forma pendiente-intersección. Eso significa resolver paraY; en otras palabras, obténYpor sí mismo en el lado izquierdo del signo igual. Así que restaFde ambos lados:
Y + F = 200 \\ Y = -F + 200
Recuerda que en la forma pendiente-intersección, el número delante de la F es la pendiente y la constante es la intersección y.
Para graficar la primera ecuación,Y = −F+ 200, dibuja un punto en (0, 200) y luego usa la pendiente para encontrar más puntos. La pendiente es −1, así que baja una unidad y sobre una unidad y dibuja un punto. Eso crea un punto en (1, 199), y si repite el proceso comenzando con ese punto, obtendrá otro punto en (2, 198). Estos son pequeños movimientos en una gran línea, así que dibuja un punto más en elX-interceptar para asegurarse de tener las cosas bien graficadas a largo plazo. SiY= 0, entoncesFserá 200, así que dibuja un punto en (200, 0).
Para graficar la segunda ecuación,Y = F- 50, usa la intersección con el eje y de −50 para dibujar el primer punto en (0, −50). Dado que la pendiente es 1, comience en (0, −50) y luego suba una unidad y más de una unidad. Eso te pone en (1, −49). Repite el proceso a partir de (1, −49) y obtendrás un tercer punto en (2, −48). Nuevamente, para asegurarse de que está haciendo las cosas de manera ordenada a largas distancias, verifíquese también dibujando elX-interceptar. CuándoY = 0, Fserá 50, por lo que también dibuja un punto en (50, 0). Dibuja una línea ordenada que conecte estos puntos.
Observe de cerca su gráfico para ver dónde se cruzan las dos líneas. Esta será la solución, porque la solución de un sistema de ecuaciones es el punto (o puntos) que hacen que ambas ecuaciones sean verdaderas. En un gráfico, se verá como el punto (o puntos) donde las dos líneas se cruzan.
En este caso, las dos líneas se cruzan en (125, 75). Entonces la solución es que tu amigo (elX-coordinate) ganó $ 125 y usted (ely-coordinate) ganó $ 75.
Verificación lógica rápida: ¿Tiene sentido esto? Juntos, los dos valores suman 200 y 125 es 50 más que 75. Suena bien.
Una solución, soluciones infinitas o ninguna solución
En este caso, hubo exactamente un punto donde las dos líneas se cruzaron. Cuando trabajas con sistemas de ecuaciones, hay tres resultados posibles y cada uno se verá diferente en un gráfico.
- Si el sistema tiene una solución, las líneas se cruzarán en un solo punto, como lo hicieron en el ejemplo.
- Si el sistema no tiene soluciones, las líneas nunca se cruzarán. Serán paralelos, lo que en términos algebraicos significa que tendrán la misma pendiente.
- El sistema también puede tener infinitas soluciones, lo que significa que sus "dos" líneas son en realidad la misma línea. Entonces tendrán todos los puntos en común, que es un número infinito de soluciones.