Trucos para factorizar ecuaciones cuadráticas

Las ecuaciones cuadráticas son fórmulas que se pueden escribir en la forma Ax ^ 2 + Bx + C = 0. A veces, una ecuación cuadrática se puede simplificar factorizando o expresando la ecuación como un producto de términos separados. Esto puede hacer que la ecuación sea más fácil de resolver. A veces, los factores pueden ser difíciles de identificar, pero existen trucos que pueden facilitar el proceso.

Examine la ecuación cuadrática para determinar si hay un número y / o variable que pueda dividir cada término de la ecuación. Por ejemplo, considere la ecuación 2x ​​^ 2 + 10x + 8 = 0. El número más grande que se puede dividir uniformemente en cada término de la ecuación es 2, por lo que 2 es el máximo factor común (MCD).

Divida cada término de la ecuación por el MCD y multiplique la ecuación completa por el MCD. En la ecuación de ejemplo 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0, esto resultaría en 2 ((2/2) x ^ 2 + (10/2) x + (8/2)) = 2 (0/2).

Simplifica la expresión completando la división en cada término. No debe haber fracciones en la ecuación final. En el ejemplo, esto resultaría en 2 (x ^ 2 + 5x + 4) = 0.

Examine la ecuación cuadrática para ver si tiene la forma Ax ^ 2 + 0x - C = 0, donde A = y ^ 2 y C = z ^ 2. Si este es el caso, la ecuación cuadrática expresa la diferencia de dos cuadrados. Por ejemplo, en la ecuación 4x ^ 2 + 0x - 9 = 0, A = 4 = 2 ^ 2 y C = 9 = 3 ^ 2, entonces y = 2 y z = 3.

Factoriza la ecuación en la forma (yx + z) (yx - z) = 0. En la ecuación de ejemplo, y = 2 y z = 3; por lo tanto, la ecuación cuadrática factorizada es (2x + 3) (2x - 3) = 0. Esta será siempre la forma factorizada de una ecuación cuadrática que es la diferencia de cuadrados.

Examina la ecuación cuadrática para ver si es un cuadrado perfecto. Si la ecuación cuadrática es un cuadrado perfecto, se puede escribir en la forma y ^ 2 + 2yz + z ^ 2, como la ecuación 4x ^ 2 + 12x + 9 = 0, que se puede reescribir como (2x) ^ 2 + 2 (2x) (3) + (3) ^ 2. En este caso, y = 2x y z = 3.

Compruebe si el término 2yz es positivo. Si el término es positivo, los factores de la ecuación cuadrática del cuadrado perfecto son siempre (y + z) (y + z). Por ejemplo, en la ecuación anterior, 12x es positivo, por lo tanto, los factores son (2x + 3) (2x + 3) = 0.

Compruebe si el término 2yz es negativo. Si el término es negativo, los factores son siempre (y - z) (y - z). Por ejemplo, si la ecuación anterior tuviera el término -12x en lugar de 12x, los factores serían (2x - 3) (2x - 3) = 0.

Establezca la forma factorizada de la ecuación cuadrática escribiendo (vx + w) (yx + z) = 0. Recuerde las reglas para la multiplicación FOIL (Primero, Exterior, Interior, Último). Como el primer término de la ecuación cuadrática es un Ax ^ 2, ambos factores de la ecuación deben incluir una x.

Resuelva para v y y considerando todos los factores de A en la ecuación cuadrática. Si A = 1, tanto v como y siempre serán 1. En la ecuación de ejemplo x ^ 2 - 9x + 8 = 0, A = 1, por lo que v e y se pueden resolver en la ecuación factorizada para obtener (1x + w) (1x + z) = 0.

Determina si wyz son positivos o negativos. Se aplican las siguientes reglas: C = positivo y B = positivo; ambos factores tienen un signo + C = positivo y B = negativo; ambos factores tienen un signo - C = negativo y B = positivo; el factor con el valor más grande tiene un signo + C = negativo y B = negativo; el factor con el valor más grande tiene un signo - En la ecuación de ejemplo del Paso 2, B = -9 y C = +8, entonces ambos factores de la ecuación tendrán - signos, y la ecuación factorizada se puede escribir como (1x - w) (1x - z) = 0.

Haz una lista de todos los factores de C para encontrar los valores de w y z. En el ejemplo anterior, C = 8, por lo que los factores son 1 y 8, 2 y 4, -1 y -8 y -2 y -4. Los factores deben sumar B, que es -9 en la ecuación de ejemplo, por lo que w = -1 yz = -8 (o viceversa) y nuestra ecuación se factoriza completamente como (1x - 1) (1x - 8) = 0.

Reduzca la ecuación a su forma más simple, usando el método de mayor factor común mencionado anteriormente. Por ejemplo, en la ecuación 9x ^ 2 + 27x - 90 = 0, el MCD es 9, por lo que la ecuación se simplifica a 9 (x ^ 2 + 3x - 10).

Dibuja un cuadro y divídelo en una tabla con dos filas y dos columnas. Ponga Ax ^ 2 de la ecuación simplificada en la fila 1, columna 1, y C de la ecuación simplificada en la fila 2, columna 2.

Multiplica A por C y encuentra todos los factores del producto. En el ejemplo anterior, A = 1 y C = -10, por lo que el producto es (1) (- 10) = -10. Los factores de -10 son -1 y 10, -2 y 5, 1 y -10 y 2 y -5.

Identifique cuáles de los factores del producto AC se suman a B. En el ejemplo, B = 3. Los factores de -10 que suman 3 son -2 y 5.

Multiplica cada uno de los factores identificados por x. En el ejemplo anterior, esto resultaría en -2x y 5x. Coloque estos dos términos nuevos en los dos espacios vacíos del gráfico, de modo que la tabla se vea así:

x ^ 2 | 5 veces

-2x | -10

Encuentra el MCD de cada fila y columna del cuadro. En el ejemplo, el CGF para la fila superior es x y para la fila inferior es -2. El MCD de la primera columna es x y el de la segunda columna es 5.

Escriba la ecuación factorizada en la forma (w + v) (y + z) utilizando los factores identificados en las filas del gráfico para w y v, y los factores identificados en las columnas del gráfico para y y z. Si la ecuación se simplificó en el Paso 1, recuerde incluir el MCD de la ecuación en la expresión factorizada. En el caso del ejemplo, la ecuación factorizada será 9 (x - 2) (x + 5) = 0.

Asegúrese de que la ecuación esté en forma cuadrática estándar antes de comenzar con cualquiera de los métodos descritos.

No siempre es fácil identificar un cuadrado perfecto o una diferencia de cuadrados. Si puede ver rápidamente que la ecuación cuadrática que está tratando de factorizar está en una de estas formas, entonces eso puede ser de gran ayuda. Sin embargo, no pierda mucho tiempo tratando de resolver esto, ya que los otros métodos podrían ser más rápidos.

Siempre verifique su trabajo multiplicando los factores usando el método FOIL. Los factores siempre deben multiplicarse de nuevo a la ecuación cuadrática original.