Cómo resolver ecuaciones cúbicas

Resolver funciones polinomiales es una habilidad clave para cualquiera que estudie matemáticas o física, pero familiarizarse con el proceso, especialmente cuando se trata de funciones de orden superior, puede ser bastante desafiante. Una función cúbica es uno de los tipos de ecuación polinomial más desafiantes que puede tener que resolver a mano. Si bien puede que no sea tan sencillo como resolver una ecuación cuadrática, existen algunos métodos que puede utilizar para encontrar la solución a una ecuación cúbica sin tener que recurrir a páginas y páginas de información detallada álgebra.

¿Qué es una función cúbica?

Una función cúbica es un polinomio de tercer grado. Una función polinomial general tiene la forma:

f (x) = ax ^ n + bx ^ {n-1} + cx ^ {n-2}... vx ^ 3 + wx ^ 2 + zx + k

Aquí, X es la variable, norte es simplemente cualquier número (y el grado del polinomio), k es una constante y las otras letras son coeficientes constantes para cada potencia de X. Entonces una función cúbica tiene norte = 3, y es simplemente:

f (x) = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx ^ 1 + d

Donde en este caso, D es la constante. En términos generales, cuando tenga que resolver una ecuación cúbica, se le presentará en la forma:

ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx ^ 1 + d = 0

Cada solución para X se llama "raíz" de la ecuación. Las ecuaciones cúbicas tienen una raíz real o tres, aunque pueden repetirse, pero siempre hay al menos una solución.

El tipo de ecuación se define por la potencia más alta, por lo que en el ejemplo anterior, no sería una ecuación cúbica si a = 0, porque el término de mayor potencia sería bx2 y sería una ecuación cuadrática. Esto significa que las siguientes son todas ecuaciones cúbicas:

2x ^ 3 + 3x ^ 2 + 6x −9 = 0 \\ x ^ 3 −9x + 1 = 0 \\ x ^ 3 −15x ^ 2 = 0

Resolver usando el teorema del factor y la división sintética

La forma más fácil de resolver una ecuación cúbica implica un poco de conjeturas y un tipo de proceso algorítmico llamado división sintética. El comienzo, sin embargo, es básicamente el mismo que el método de prueba y error para las soluciones de ecuaciones cúbicas. Intente averiguar cuál es una de las raíces adivinando. Si tiene una ecuación donde el primer coeficiente, a, es igual a 1, entonces es un poco más fácil adivinar una de las raíces, porque siempre son factores del término constante que está representado arriba por D.

Entonces, mirando la siguiente ecuación, por ejemplo:

x ^ 3 - 5x ^ 2 - 2x + 24 = 0

Tienes que adivinar uno de los valores para X, pero desde a = 1 en este caso sabes que cualquiera que sea el valor, tiene que ser un factor de 24. El primer factor de este tipo es 1, pero esto dejaría:

1 – 5 – 2 + 24 = 18

Que no es cero, y −1 dejaría:

−1 – 5 + 2 + 24 = 20

Que de nuevo no es cero. Próximo, X = 2 daría:

8 – 20 – 4 + 24 = 8

Otro fracaso. Difícil X = −2 da:

−8 – 20 + 4 + 24 = 0

Esto significa X = −2 es una raíz de la ecuación cúbica. Esto muestra los beneficios y desventajas del método de prueba y error: puede obtener la respuesta sin mucho pensó, pero lleva mucho tiempo (especialmente si tiene que ir a factores más altos antes de encontrar una raíz). Afortunadamente, cuando haya encontrado una raíz, puede resolver el resto de la ecuación fácilmente.

La clave es incorporar el teorema del factor. Esto establece que si X = s es una solución, entonces (Xs) es un factor que se puede sacar de la ecuación. Para esta situación, s = −2, y entonces (X + 2) es un factor que podemos sacar para dejar:

(x + 2) (x ^ 2 + ax + b) = 0

Los términos del segundo grupo de corchetes tienen la forma de una ecuación cuadrática, por lo que si encuentra los valores apropiados para a y B, la ecuación se puede resolver.

Esto se puede lograr mediante la división sintética. Primero, escriba los coeficientes de la ecuación original en la fila superior de una tabla, con una línea divisoria y luego la raíz conocida a la derecha:

\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & & & & & \\ \ hline & & & & \ end {array}

Deje una fila libre y luego agregue una línea horizontal debajo de ella. Primero, tome el primer número (1 en este caso) hasta la fila debajo de su línea horizontal

\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & & & & & \\ \ hline 1 & & & & \ end {array }

Ahora multiplique el número que acaba de reducir por la raíz conocida. En este caso, 1 × −2 = −2, y esto se escribe debajo del siguiente número en la lista, de la siguiente manera:

\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & -2 & & & \\ \ hline 1 & & & & \ end {formación}

Luego agregue los números en la segunda columna y coloque el resultado debajo de la línea horizontal:

\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & -2 & & & \\ \ hline 1 & -7 & & & \ end {matriz}

Ahora repita el proceso que acaba de realizar con el nuevo número debajo de la línea horizontal: Multiplique por el raíz, ponga la respuesta en el espacio vacío en la siguiente columna, y luego agregue la columna para obtener un nuevo número en el fila inferior. Esto deja:

\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & -2 & 14 & & \\ \ hline 1 & -7 & 12 & & \ end {matriz}

Y luego pasa por el proceso por última vez.

\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & -2 & 14 & -24 & \\ \ hline 1 & -7 & 12 & 0 & \ end {array}

El hecho de que la última respuesta sea cero te dice que tienes una raíz válida, así que si no es cero, entonces has cometido un error en alguna parte.

Ahora, la fila inferior le dice los factores de los tres términos en el segundo conjunto de corchetes, para que pueda escribir:

(x ^ 2 - 7x + 12) = 0

Y entonces:

(x + 2) (x ^ 2 - 7x + 12) = 0

Ésta es la etapa más importante de la solución y puede terminar a partir de este punto de muchas formas.

Factorizar polinomios cúbicos

Una vez que haya eliminado un factor, puede encontrar una solución utilizando la factorización. Desde el paso anterior, este es básicamente el mismo problema que factorizar una ecuación cuadrática, que puede ser un desafío en algunos casos. Sin embargo, para la expresión:

(x ^ 2 - 7x + 12)

Si recuerda que los dos números que puso entre paréntesis deben sumar para obtener el segundo coeficiente (7) y multiplicar para obtener el tercero (12), es bastante fácil ver que en este caso:

(x ^ 2 - 7x + 12) = (x - 3) (x - 4)

Puede multiplicar esto para comprobarlo, si lo desea. No se desanime si no puede ver la factorización de inmediato; se necesita un poco de práctica. Esto deja la ecuación original como:

(x + 2) (x - 3) (x - 4) = 0

Lo que puede ver inmediatamente tiene soluciones en X = −2, 3 y 4 (todos los cuales son factores de 24, la constante original). En teoría, también es posible ver la factorización completa a partir de la versión original de la ecuación, pero esto es mucho más desafiante, por lo que es mejor encontrar una solución de prueba y error y utilizar el enfoque anterior antes de intentar detectar un factorización.

Si tiene dificultades para ver la factorización, puede usar la fórmula de la ecuación cuadrática:

x = {- b \ pm \ sqrt {b ^ 2 - 4ac} \ above {1pt} 2a}

Para encontrar las soluciones restantes.

Usando la fórmula cúbica

Aunque es mucho más grande y menos simple de manejar, existe un solucionador de ecuaciones cúbicas simple en forma de fórmula cúbica. Esto es como la fórmula de la ecuación cuadrática en la que solo ingresa sus valores de a, B, C y D para obtener una solución, pero es mucho más largo.

Se afirma que:

x = (q + [q ^ 2 + (r − p ^ 2) ^ 3] ^ {1/2}) ^ {1/3} + (q - [q ^ 2 + (r − p ^ 2) ^ 3] ^ {1/2}) ^ {1/3} + p

dónde

p = {−b \ above {1pt} 3a}

q = p ^ 3 + {bc − 3ad \ above {1pt} 6a ^ 2}

y

r = {c \ above {1pt} 3a}

Usar esta fórmula requiere mucho tiempo, pero si no desea usar el método de prueba y error para soluciones de ecuaciones cúbicas y luego la fórmula cuadrática, esto funciona cuando lo revisa todo.

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