Cómo factorizar polinomios con fracciones

La mejor manera de factorizar polinomios con fracciones comienza reduciendo las fracciones a términos más simples. Los polinomios representan expresiones algebraicas con dos o más términos, más específicamente, la suma de varios términos que tienen diferentes expresiones de la misma variable. Las estrategias que ayudan a simplificar polinomios implican factorizar el máximo factor común, seguido de agrupar la ecuación en sus términos más bajos. Lo mismo ocurre incluso cuando se resuelven polinomios con fracciones.

Tiene tres formas de ver la frase polinomios con fracciones. La primera interpretación aborda polinomios con fracciones para coeficientes. En álgebra, el coeficiente se define como la cantidad numérica o constante que se encuentra antes de una variable. En otras palabras, los coeficientes de 7_a_, B y (1/3)C son 7, 1 y (1/3) respectivamente. Por tanto, dos ejemplos de polinomios con coeficientes fraccionarios serían:

La segunda interpretación de "polinomios con fracciones" se refiere a polinomios existentes en fracción o proporción. forma con un numerador y un denominador, donde el polinomio del numerador se divide por el denominador polinomio. Por ejemplo, esta segunda interpretación se ilustra con:

Mientras tanto, la tercera interpretación se relaciona con la descomposición de fracciones parciales, también conocida como expansión de fracciones parciales. A veces, las fracciones polinomiales son complejas, de modo que cuando se "descomponen" o "desglosan" en términos más simples, se presentan como sumas, diferencias, productos o cocientes de polinomios fracciones. Para ilustrar, la fracción polinomial compleja de:

se evalúa a través de la descomposición de fracciones parciales, que, dicho sea de paso, implica la factorización de polinomios, para ser, en su forma más simple:

Los factores representan dos números que cuando se multiplican juntos dan como resultado un tercer número. En ecuaciones algebraicas, la factorización determina qué dos cantidades se multiplicaron para llegar a un polinomio dado. La propiedad distributiva se sigue en gran medida al multiplicar polinomios. La propiedad distributiva esencialmente permite multiplicar una suma multiplicando cada número individualmente antes de sumar los productos. Observe, por ejemplo, cómo se aplica la propiedad distributiva en el ejemplo de:

Pero, si se multiplican dos binomios, se utiliza una versión extendida de la propiedad distributiva mediante el método FOIL. FOIL representa el acrónimo de los términos First, Outer, Inner y Last que se multiplican. Por lo tanto, factorizar polinomios implica realizar el método FOIL al revés. Tome los dos ejemplos mencionados anteriormente con los polinomios que contienen coeficientes de fracción. Realizar el método FOIL al revés en cada uno de ellos da como resultado los factores de

para el primer polinomio, y los factores de

para el segundo polinomio.

Ejemplo:

Ejemplo:

Desde arriba, las fracciones polinomiales involucran un polinomio en el numerador dividido por un polinomio en el denominador. Por lo tanto, la evaluación de fracciones polinomiales requiere factorizar el polinomio numerador primero y luego factorizar el polinomio denominador. Ayuda a encontrar el máximo factor común, o MCD, entre el numerador y el denominador. Una vez que se encuentra el MCD tanto del numerador como del denominador, se cancela y, en última instancia, reduce la ecuación completa en términos simplificados. Considere el ejemplo de fracción polinomial original anterior de

Factorizar los polinomios del numerador y del denominador para encontrar el MCD da como resultado:

siendo el GCF (X + 2).

El MCD tanto en el numerador como en el denominador se cancelan entre sí para proporcionar la respuesta final en los términos más bajos de (X + 5) ÷ (X + 9).

Ejemplo:

La descomposición de fracciones parciales, que implica la factorización, es una forma de reescribir ecuaciones de fracciones polinomiales complejas en una forma más simple. Revisando el ejemplo anterior de

Simplifica el denominador para obtener:

A continuación, reorganice el numerador para que comience a tener los MCD presentes en el denominador, para obtener:

Para el sumando de la izquierda, el MCD es (X - 1), mientras que para el sumando derecho, el MCD es (X + 2), que se cancelan en el numerador y denominador, como se ve en:

Por lo tanto, cuando se cancelan los MCD, la respuesta final simplificada es:

como la solución de la descomposición de la fracción parcial.