La diferencia entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica es enorme. Mientras que en la mecánica clásica las partículas y los objetos tienen posiciones claramente definidas, en la mecánica cuántica (antes de una medición) un Solo se puede decir que la partícula tiene un rango de posiciones posibles, que se describen en términos de probabilidades por la onda función.
La ecuación de Schrodinger define la función de onda de los sistemas de mecánica cuántica, y aprender a usarla e interpretarla es una parte importante de cualquier curso de mecánica cuántica. Uno de los ejemplos más simples de una solución a esta ecuación es el de una partícula en una caja.
La función de onda
En mecánica cuántica, una partícula está representada por unfunción de onda. Esto generalmente se denota con la letra griega psi (Ψ) y depende tanto de la posición como del tiempo, y contiene todo lo que se puede saber sobre la partícula.
El módulo de esta función al cuadrado le dice la probabilidad de que la partícula se encuentre en la posición
\ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ vertΨ \ vert ^ 2 = 1
Puede utilizar la función de onda para calcular el valor esperado para la posición de una partícula en el momentot, donde el valor esperado solo significa el valor promedio que obtendría porXsi repitió la medición muchas veces. Por supuesto, esto no significa que será el resultado que obtendría para cualquier medida determinada, es decirefectivamentealeatorio, aunque algunas ubicaciones suelen ser mucho más probables que otras.
Hay muchas otras cantidades para las que puede calcular valores esperados, como los valores de momento y energía, así como muchos otros "observables".
Ecuación de Schrodinger
La ecuación de Schrodinger es una ecuación diferencial que se utiliza para encontrar el valor de la función de onda y los estados propios de la energía de la partícula. La ecuación se puede derivar de la conservación de la energía y las expresiones de la energía cinética y potencial de una partícula. La forma más sencilla de escribirlo es:
H (Ψ) = iℏ \ frac {\ parcialΨ} {\ parcial t}
Pero aquíHrepresenta elOperador hamiltoniano, que en sí misma es una expresión bastante larga:
H = \ frac {−ℏ} {2m} \ frac {\ parcial ^ 2} {\ parcial x ^ 2} + V (x)
Aquí,metroes la masa, ℏ es la constante de Planck dividida por 2π, yV (X) es una función general de la energía potencial del sistema. El hamiltoniano tiene dos partes distintas: el primer término es la energía cinética del sistema y el segundo término es la energía potencial.
Cada valor observable en mecánica cuántica está asociado con un operador, y en la versión independiente del tiempo de la ecuación de Schrodinger, el hamiltoniano es el operador de energía. Sin embargo, en la versión dependiente del tiempo que se muestra arriba, el hamiltoniano también genera la evolución temporal de la función de onda.
Combinando toda la información contenida en la ecuación, puede describir la evolución de la partícula en el espacio y el tiempo y predecir los posibles valores de energía para ella también.
La ecuación de Schrodinger independiente del tiempo
La parte de la ecuación que depende del tiempo se puede eliminar, para describir una situación que no evoluciona notablemente con el tiempo, separando la función de onda en partes de espacio y tiempo:Ψ(X, t) = Ψ(X) F(t). Las partes dependientes del tiempo se pueden cancelar fuera de la ecuación, lo que deja la versión independiente del tiempo de la ecuación de Schrodinger:
H Ψ (x) = E (Ψ (x))
mies la energía del sistema. Esto tiene la forma exacta de una ecuación de valor propio, conΨ(X) siendo la función propia, ymisiendo el valor propio, razón por la cual la ecuación independiente del tiempo a menudo se denomina ecuación de valor propio para la energía de un sistema mecánico cuántico. La función de tiempo simplemente viene dada por:
f (t) = e ^ {- iEt / ℏ}
La ecuación independiente del tiempo es útil porque simplifica los cálculos para muchas situaciones en las que la evolución del tiempo no es particularmente crucial. Esta es la forma más útil para los problemas de "partículas en una caja" e incluso para determinar los niveles de energía de los electrones alrededor de un átomo.
Partícula en una caja (pozo cuadrado infinito)
Una de las soluciones más simples a la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo es para una partícula en un pozo cuadrado infinitamente profundo (es decir, un pozo de potencial infinito), o una caja unidimensional de base largoL. Por supuesto, estas son idealizaciones teóricas, pero dan una idea básica de cómo se resuelve la ecuación de Schrodinger sin tener en cuenta muchas de las complicaciones que existen en la naturaleza.
Con la energía potencial establecida en 0 fuera del pozo donde la densidad de probabilidad también es 0, la ecuación de Schrodinger para esta situación se convierte en:
\ frac {−ℏ ^ 2} {2m} \ frac {d ^ 2Ψ (x)} {dx ^ 2} = E Ψ (x)
Y la solución general para una ecuación de esta forma es:
Ψ (x) = A \ sin (kx) + B \ cos (kx)
Sin embargo, observar las condiciones de contorno puede ayudar a reducir esto. ParaX= 0 yX= L, es decir, los lados de la caja o las paredes del pozo, la función de onda tiene que ir a cero. La función coseno tiene un valor de 1 cuando el argumento es 0, por lo que para que se satisfagan las condiciones de contorno, la constanteBdebe ser igual a cero. Esto deja:
Ψ (x) = A \ sin (kx)
También puede utilizar las condiciones de contorno para establecer un valor parak. Dado que la función sin va a cero en los valoresnorteπ, donde el número cuánticonorte= 0, 1, 2, 3... y así sucesivamente, esto significa que cuandoX = L, la ecuación solo funcionará sik = norteπ / L. Finalmente, puede utilizar el hecho de que la función de onda debe normalizarse para encontrar el valor deA(integrar en todos los posiblesXvalores, es decir, de 0 aL, y luego establezca el resultado igual a 1 y reorganice), para llegar a la expresión final:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
Usando la ecuación original y este resultado, puedes resolver parami, cuyos rendimientos:
E = \ frac {n ^ 2ℎ ^ 2} {8 ml ^ 2}
Tenga en cuenta que el hecho de quenorteestá en esta expresión significa que los niveles de energía soncuantificado, por lo que no pueden tomaralgunavalor, pero solo un conjunto discreto de valores de nivel de energía específicos dependiendo de la masa de la partícula y la longitud de la caja.
Partícula en una caja (pozo cuadrado finito)
El mismo problema se complica un poco más si el pozo potencial tiene una altura de pared finita. Por ejemplo, si el potencialV (X) toma el valorV0 fuera del pozo de potencial y 0 dentro de él, la función de onda se puede determinar en las tres regiones principales cubiertas por el problema. Sin embargo, este es un proceso más complicado, por lo que aquí solo podrá ver los resultados en lugar de ejecutar todo el proceso.
Si el pozo está enX= 0 aX = Lde nuevo, para la región dondeX<0 la solución es:
Ψ (x) = Sea ^ {kx}
Para la regiónX > L, es:
Ψ (x) = Ae ^ {- kx}
Dónde
k = \ sqrt {\ frac {2me} {ℏ ^ 2}}
Para la región dentro del pozo, donde 0 <X < L, la solución general es:
Ψ (x) = C \ sin (wx) + D \ cos (wx)
Dónde
w = \ sqrt {\ frac {-2m (E + V_0)} {ℏ ^ 2}}
Luego puede usar las condiciones de contorno para determinar los valores de las constantesA, B, CyD, observando que además de tener valores definidos en las paredes del pozo, la función de onda y su primera derivada deben ser continuas en todas partes, y la función de onda debe ser finita en todas partes.
En otros casos, como cajas poco profundas, cajas estrechas y muchas otras situaciones específicas, hay aproximaciones y diferentes soluciones que puedes encontrar.