Cualquiera que haya jugado al billar está familiarizado con la ley de conservación del impulso, se dé cuenta o no.
La ley de conservación del momento es fundamental para comprender y predecir lo que sucede cuando los objetos interactúan o chocan. Esta ley predice los movimientos de las bolas de billar y es lo que decide si esa bola ocho llega a la tronera de la esquina o no.
¿Qué es el impulso?
El momento se define como el producto de la masa y la velocidad de un objeto. En forma de ecuación, esto a menudo se escribe comop = mv.
Es una cantidad vectorial, lo que significa que tiene una dirección asociada. La dirección del vector de momento de un objeto es la misma dirección que su vector de velocidad.
El impulso de un sistema aislado es la suma de los momentos de cada objeto individual en ese sistema. Un sistema aislado es un sistema de objetos que interactúan y que no interactúan de ninguna manera con nada más. En otras palabras, no existe una fuerza externa neta que actúe sobre el sistema.
Estudiar el impulso total en un sistema aislado es importante porque le permite hacer predicciones de lo que sucederá con los objetos en el sistema durante colisiones e interacciones.
¿Qué son las leyes de conservación?
Antes de embarcarse en la comprensión de la ley de conservación de la cantidad de movimiento, es importante comprender qué se entiende por "cantidad conservada".
Conservar algo significa evitar el desperdicio o la pérdida de él de alguna manera. En física, se dice que una cantidad se conserva si permanece constante. Es posible que haya escuchado la expresión en lo que respecta a la conservación de la energía, que es la noción de que la energía no se puede crear ni destruir, sino que solo cambia de forma. Por lo tanto, la cantidad total permanece constante.
Cuando hablamos de conservación del impulso, estamos hablando de la cantidad total de impulso que se mantiene constante. Este impulso puede transferirse de un objeto a otro dentro de un sistema aislado y aún así considerarse conservado si el impulso total en ese sistema no cambia.
Segunda ley del movimiento de Newton y la ley de conservación del momento
La ley de conservación del momento se puede derivar de la segunda ley del movimiento de Newton. Recuerde que esta ley relacionó la fuerza neta, la masa y la aceleración de un objeto comoFneto = ma.
El truco aquí es pensar que esta fuerza neta actúa sobre un sistema como un todo. La ley de conservación de la cantidad de movimiento se aplica cuando la fuerza neta sobre el sistema es 0. Esto significa que, para cada objeto en el sistema, las únicas fuerzas que pueden ejercerse sobre él deben provenir de otros objetos dentro del sistema, o de lo contrario se cancelarán de alguna manera.
Las fuerzas externas pueden ser la fricción, la gravedad o la resistencia del aire. Estos deben no estar actuando o deben contrarrestarse para que la fuerza neta sobre el sistema sea 0.
Puede comenzar la derivación con la declaraciónFneto = ma = 0.
Lametroen este caso es la masa de todo el sistema. La aceleración en cuestión es la aceleración neta del sistema, que se refiere a la aceleración del centro de masa del sistema (el centro de masa es la ubicación promedio del sistema total masa.)
Para que la fuerza neta sea 0, la aceleración también debe ser 0. Dado que la aceleración es el cambio en la velocidad a lo largo del tiempo, esto implica que la velocidad no debe estar cambiando. En otras palabras, la velocidad es constante. De ahí obtenemos la afirmación de quemvcm= constante.
Dóndevcmes la velocidad del centro de masa, dada por la fórmula:
v_ {cm} = \ frac {m_1v_1 + m_2v_2 + ...} {m_1 + m_2 + ...}
Entonces ahora la declaración se reduce a:
m_1v_1 + m_2v_2 +... = \ text {constante}
Ésta es la ecuación que describe la conservación del momento. Cada término es el momento de uno de los objetos del sistema, y la suma de todos los momentos debe ser constante. Otra forma de expresar esto es declarando:
m_1v_ {1i} + m_2v_ {2i} +... = m_1v_ {1f} + m_2v_ {2f} + ...
Donde el subíndiceIse refiere a valores iniciales yFa valores finales, que generalmente ocurren antes y luego después de algún tipo de interacción, como una colisión entre objetos en un sistema.
Colisiones elásticas e inelásticas
La razón por la que la ley de conservación de la cantidad de movimiento es importante es que puede permitirle resolver un velocidad final desconocida o similar para objetos en un sistema aislado que podrían chocar con cada otro.
Hay dos formas principales en las que se puede producir una colisión de este tipo: elástica o inelástica.
Una colisión perfectamente elástica es aquella en la que los objetos que chocan rebotan entre sí. Este tipo de colisión se caracteriza por la conservación de la energía cinética. La energía cinética de un objeto viene dada por la fórmula:
KE = \ frac {1} {2} mv ^ 2
Si se conserva la energía cinética, la suma de las energías cinéticas de todos los objetos del sistema debe permanecer constante tanto antes como después de cualquier colisión. El uso de la conservación de la energía cinética junto con la conservación del impulso puede permitirle resolver más de una velocidad final o inicial en un sistema en colisión.
Una colisión perfectamente inelástica es aquella en la que cuando dos objetos chocan, se pegan entre sí y se mueven como una masa singular después. Esto también puede simplificar un problema porque solo necesita determinar una velocidad final en lugar de dos.
Si bien el impulso se conserva en ambos tipos de colisiones, la energía cinética solo se conserva en una colisión elástica. La mayoría de las colisiones de la vida real no son ni perfectamente elásticas ni perfectamente inelásticas, sino que se encuentran en algún punto intermedio.
Conservación del momento angular
Lo que se describió en la sección anterior es la conservación del momento lineal. Hay otro tipo de momento que se aplica al movimiento de rotación que se llama momento angular.
Al igual que con el momento lineal, también se conserva el momento angular. El momento angular depende de la masa de un objeto, así como de qué tan lejos está esa masa de un eje de rotación.
Cuando un patinador artístico gira, lo verás girar más rápido a medida que acercan sus brazos a su cuerpo. Esto se debe a que su momento angular solo se conserva si su velocidad de rotación aumenta en proporción a lo cerca que acercan sus brazos a su centro.
Ejemplos de problemas de conservación de la cantidad de movimiento
Ejemplo 1:Dos bolas de billar de igual masa ruedan una hacia la otra. Uno viaja con una rapidez inicial de 2 m / sy el otro viaja con una rapidez de 4 m / s. Si su colisión es perfectamente elástica, ¿cuál es la velocidad final de cada bola?
Solución 1:Al resolver este problema, es importante elegir un sistema de coordenadas. Dado que todo sucede en línea recta, puede decidir que el movimiento hacia la derecha es positivo y el movimiento hacia la izquierda es negativo. Suponga que la primera bola se desplaza hacia la derecha a 2 m / s. La velocidad de la segunda bola es entonces -4 m / s.
Escriba una expresión para el momento total del sistema antes de la colisión, así como la energía cinética total del sistema antes de la colisión:
m_1v_ {1i} + m_2v_ {2i} \\ \ frac {1} {2} m_1v_ {1i} ^ 2 + \ frac {1} {2} m_2v_ {2i} ^ 2
Inserte valores para obtener una expresión para cada uno:
m_1v_ {1i} + m_2v_ {2i} = 2m - 4m = -2m \\ \ frac {1} {2} m_1v_ {1i} ^ 2 + \ frac {1} {2} m_2v_ {2i} ^ 2 = \ frac {1} {2} m (2) ^ 2 + \ frac {1} {2} m (-4) ^ 2 = 10 m
Tenga en cuenta que, dado que no se le dieron valores para las masas, siguen siendo desconocidos, aunque ambas masas eran iguales, lo que permitió cierta simplificación.
Después de la colisión, las expresiones para el momento y la energía cinética son:
mv_ {1f} + mv_ {2f} \\ \ frac {1} {2} mv_ {1f} ^ 2 + \ frac {1} {2} mv_ {2f} ^ 2
Al establecer los valores iniciales iguales a los valores finales de cada uno, puede cancelar las masas. Entonces te quedas con un sistema de dos ecuaciones y dos cantidades desconocidas:
mv_ {1f} + mv_ {2f} = -2m \ implica v_ {1f} + v {2f} = -2 \\ \ frac {1} {2} mv_ {1f} ^ 2 + \ frac {1} {2 } mv_ {2f} ^ 2 = 10m \ implica v_ {1f} ^ 2 + v {2f} ^ 2 = 20
Resolver el sistema algebraicamente da las siguientes soluciones:
v_ {if} = -4 \ text {m / s} v_ {2f} = 2 \ text {m / s}
Notarás que debido a que las dos bolas tenían la misma masa, esencialmente intercambiaron velocidades.
Ejemplo 2:Un automóvil de 1200 kg que viaja hacia el este a 20 millas por hora choca de frente con un camión de 3000 kg que viaja hacia el oeste a 15 millas por hora. Los dos vehículos se mantienen unidos cuando chocan. ¿Con qué velocidad final se mueven?
Solucion 2:Una cosa a tener en cuenta sobre este problema en particular son las unidades. Las unidades SI para la cantidad de movimiento son kg⋅m / s. Sin embargo, se le da la masa en kg y la velocidad en millas por hora. Tenga en cuenta que siempre que todas las velocidades estén en unidades consistentes, no hay necesidad de conversión. Cuando resuelvas la velocidad final, tu respuesta estará en millas por hora.
El impulso inicial del sistema se puede expresar como:
m_cv_ {ci} + m_tv_ {ti} = 1200 \ times 20 - 3000 \ times 15 = -21,000 \ text {kg} \ times \ text {mph}
El impulso final del sistema se puede expresar como:
(m_c + m_t) v_f = 4200v_f
La ley de conservación de la cantidad de movimiento le dice que estos valores inicial y final deben ser iguales. Puede resolver la velocidad final estableciendo el impulso inicial igual al impulso final, resolviendo la velocidad final de la siguiente manera:
4200v_f = -21.000 \ implica v_f = \ frac {-21000} {4200} = -5 \ text {mph}
Ejemplo 3:Demuestre que la energía cinética no se conservó en la pregunta anterior sobre la colisión inelástica entre el automóvil y el camión.
Solución 3:La energía cinética inicial de ese sistema fue:
\ frac {1} {2} m_cv_ {ci} ^ 2 + \ frac {1} {2} m_tv_ {ti} ^ 2 = \ frac {1} {2} (1200) (20) ^ 2 + \ frac { 1} {2} (3000) (15) ^ 2 = 557,500 \ text {kg (mph)} ^ 2
La energía cinética final del sistema fue:
\ frac {1} {2} (m_c + m_t) v_f ^ 2 = \ frac {1} {2} (1200 + 3000) 5 ^ 2 = 52,500 \ text {kg (mph)} ^ 2
Debido a que la energía cinética total inicial y la energía cinética final total no son iguales, puede concluir que la energía cinética no se conservó.