La ecuación de Schrodinger es la ecuación más fundamental en mecánica cuántica, y aprender a usarla y lo que significa es esencial para cualquier físico en ciernes. La ecuación lleva el nombre de Erwin Schrödinger, quien ganó el Premio Nobel junto con Paul Dirac en 1933 por sus contribuciones a la física cuántica.
La ecuación de Schrodinger describe la función de onda de un sistema mecánico cuántico, que da información probabilística sobre la ubicación de una partícula y otras cantidades observables como su impulso. Lo más importante de lo que te darás cuenta sobre la mecánica cuántica después de aprender sobre la ecuación es que las leyes en el reino cuántico sonmuy diferentede los de la mecánica clásica.
La función de onda
La función de onda es uno de los conceptos más importantes de la mecánica cuántica, porque cada partícula está representada por una función de onda. Normalmente se le da la letra griega psi (Ψ), y depende de la posición y el tiempo. Cuando tienes una expresión para la función de onda de una partícula, te dice todo lo que se puede saber sobre el sistema físico, y se pueden obtener diferentes valores para cantidades observables aplicando un operador a eso.
El cuadrado del módulo de la función de onda te dice la probabilidad de encontrar la partícula en una posiciónXen un momento dadot. Este es solo el caso si la función está "normalizada", lo que significa que la suma del módulo cuadrado sobre todas las ubicaciones posibles debe ser igual a 1, es decir, que la partícula esciertoque se encuentraen algún lugar.
Tenga en cuenta que la función de onda solo proporciona información probabilística, por lo que no puede predecir el resultado de ninguna observación, aunquelatadeterminar el promedio de muchas mediciones.
Puede utilizar la función de onda para calcular el"Valor esperado"para la posición de la partícula en el momentot, siendo el valor esperado el valor medio deXque obtendría si repitiera la medición muchas veces.
Nuevamente, esto no le dice nada sobre una medida en particular. De hecho, la función de onda es más una distribución de probabilidad para una sola partícula que cualquier cosa concreta y confiable. Al usar el operador apropiado, también puede obtener valores esperados para el momento, la energía y otras cantidades observables.
La ecuación de Schrodinger
La ecuación de Schrodinger es una ecuación diferencial parcial lineal que describe la evolución de una estado cuántico de una manera similar a las leyes de Newton (la segunda ley en particular) en mecánica.
Sin embargo, la ecuación de Schrodinger es una ecuación de onda para la función de onda de la partícula en cuestión, por lo que el uso de la ecuación para predecir el estado futuro de un sistema a veces se denomina "mecánica ondulatoria". La ecuación en sí se deriva de la conservación de la energía y se basa en un operador llamado Hamiltoniano.
La forma más simple de escribir la ecuación de Schrodinger es:
H Ψ = iℏ \ frac {\ parcialΨ} {\ parcial t}
Donde ℏ es la constante de Planck reducida (es decir, la constante dividida por 2π) yHes el operador hamiltoniano, que corresponde a la suma de la energía potencial y la energía cinética (energía total) del sistema cuántico. Sin embargo, el hamiltoniano es una expresión bastante larga en sí misma, por lo que la ecuación completa se puede escribir como:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ parcial ^ 2 Ψ} {\ parcial x ^ 2} + V (x) Ψ == iℏ \ frac {\ parcialΨ} {\ parcial t}
Observando que a veces (para problemas explícitamente tridimensionales), la primera derivada parcial se escribe como el operador laplaciano ∇2. Esencialmente, el hamiltoniano actúa sobre la función de onda para describir su evolución en el espacio y el tiempo. Pero en la versión de la ecuación independiente del tiempo (es decir, cuando el sistema no depende det), el hamiltoniano da la energía del sistema.
Resolver la ecuación de Schrodinger significa encontrar elfunción de onda mecánica cuánticaque lo satisfaga para una situación particular.
La ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo
La ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo es la versión de la sección anterior y describe la evolución de la función de onda de una partícula en el tiempo y el espacio. Un caso simple a considerar es una partícula libre porque la energía potencialV= 0, y la solución toma la forma de una onda plana. Estas soluciones tienen la forma:
Ψ = Ae ^ {kx −ωt}
Dóndek = 2π / λ, λes la longitud de onda, yω = mi / ℏ.
Para otras situaciones, la parte de energía potencial de la ecuación original describe las condiciones de contorno para el parte espacial de la función de onda, y a menudo se separa en una función de evolución del tiempo y una función de tiempo independiente ecuación.
La ecuación de Schrodinger independiente del tiempo
Para situaciones estáticas o soluciones que forman ondas estacionarias (como el pozo potencial, soluciones de estilo "partícula en una caja"), puede separar la función de onda en partes de tiempo y espacio:
Ψ (x, t) = Ψ (x) f (t)
Cuando pasa por esto en su totalidad, la porción de tiempo se puede cancelar, dejando una forma de la ecuación de Schrodinger quesolodepende de la posición de la partícula. La función de onda independiente del tiempo viene dada por:
H Ψ (x) = E Ψ (x)
Aquímies la energía del sistema mecánico cuántico, yHes el operador hamiltoniano. Esta forma de la ecuación toma la forma exacta de una ecuación de valor propio, con la función de onda siendo la función propia, y siendo la energía el valor propio cuando se aplica el operador hamiltoniano lo. Expandiendo el hamiltoniano a una forma más explícita, se puede escribir en su totalidad como:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ parcial ^ 2 Ψ} {\ parcial x ^ 2} + V (x) Ψ = E Ψ (x)
La parte de tiempo de la ecuación está contenida en la función:
f (t) = e ^ {\ frac {iEt} {ℏ}}
Soluciones de la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo
La ecuación de Schrodinger independiente del tiempo se presta bien a soluciones bastante sencillas porque recorta la forma completa de la ecuación. Un ejemplo perfecto de esto es el grupo de soluciones "partícula en una caja" donde se supone que la partícula está en un pozo de potencial cuadrado infinito en una dimensión, por lo que hay potencial cero (es decir,V= 0) en todo momento, y no hay posibilidad de que la partícula se encuentre fuera del pozo.
También hay un pozo cuadrado finito, donde el potencial en las "paredes" del pozo no es infinito e incluso si es más alto que la energía de la partícula, hayalgunosposibilidad de encontrar la partícula fuera de ella debido al túnel cuántico. Para el pozo de potencial infinito, las soluciones toman la forma:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
DóndeLes la longitud del pozo.
Un potencial de función delta es un concepto muy similar al pozo de potencial, excepto con el anchoLyendo a cero (es decir, siendo infinitesimal alrededor de un solo punto) y la profundidad del pozo yendo al infinito, mientras que el producto de los dos (U0) permanece constante. En esta situación tan idealizada, solo hay un estado límite, dado por:
Ψ (x) = \ frac {\ sqrt {mU_0}} {ℏ} e ^ {- \ frac {mU_0} {ℏ ^ 2} \ vert x \ vert}
Con energía:
E = - \ frac {mU_0 ^ 2} {2ℏ ^ 2}
Solución de átomo de hidrógeno a la ecuación de Schrodinger
Finalmente, la solución del átomo de hidrógeno tiene aplicaciones obvias para la física del mundo real, pero en la práctica la situación porque un electrón alrededor del núcleo de un átomo de hidrógeno puede verse como bastante similar al pozo de potencial problemas. Sin embargo, la situación es tridimensional y se describe mejor en coordenadas esféricas.r, θ, ϕ. La solución en este caso viene dada por:
Ψ (x) = NR_ {n, l} (r) P ^ m_ {l} (\ cos θ) e ^ {imϕ}
DóndePAGson los polinomios de Legendre,Rson soluciones radiales específicas, ynortees una constante que se fija utilizando el hecho de que la función de onda debe normalizarse. La ecuación arroja niveles de energía dados por:
E = - \ frac {\ mu Z ^ 2e ^ 4} {8ϵ_0h ^ 2n ^ 2}
DóndeZaquí está el número atómico (entoncesZ= 1 para un átomo de hidrógeno),mien este caso es la carga de un electrón (en lugar de la constantemi = 2.7182818...), ϵ0 es la permitividad del espacio libre, yμes la masa reducida, que se basa en las masas del protón y el electrón en un átomo de hidrógeno. Esta expresión es buena para cualquier átomo similar al hidrógeno, es decir, cualquier situación (incluidos los iones) en la que hay un electrón orbitando un núcleo central.
