El producto de dos cantidades escalares es un escalar, y el producto de un escalar con un vector es un vector, pero ¿qué pasa con el producto de dos vectores? ¿Es un escalar u otro vector? La respuesta es, ¡podría ser cualquiera!
Hay dos formas de tomar un producto vectorial. Uno es tomando su producto escalar, que produce un escalar, y el otro es tomando su producto cruzado, lo que produce otro vector. El producto que se utilice depende del escenario particular y de la cantidad que esté tratando de encontrar.
El producto cruzado de dos vectores produce un tercer vector que apunta en la dirección perpendicular a la plano atravesado por los dos vectores, y cuya magnitud depende de la perpendicularidad relativa de los dos vectores.
Definición del producto cruzado de vectores
Primero definimos el producto cruzado de los vectores unitariosI, jyk(vectores de magnitud 1 que apuntan en elx-, y-yz-componentes del sistema de coordenadas cartesianas estándar) como sigue:
\ bold {i \ times j} = \ bold {k} \\ \ bold {j \ times k} = \ bold {i} \\ \ bold {k \ times i} = \ bold {j} \\ \ bold {i \ times i} = \ bold {j \ times j} = \ bold {k \ times k} = 0
Tenga en cuenta que estas relaciones son anti-conmutativas, es decir, si cambiamos el orden de los vectores de los que estamos tomando el producto, cambia el signo del producto:
\ bold {j \ times i} = - \ bold {k} \\ \ bold {k \ times j} = - \ bold {i} \\ \ bold {i \ times k} = - \ bold {j}
Podemos usar las definiciones anteriores para derivar la fórmula del producto cruzado de dos vectores tridimensionales.. Primero, escribe vectoresayBcomo sigue:
\ bold {a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k} \\ \ bold {b} = (b_x, b_y, b_z) = b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ bold {k}
Multiplicando los dos vectores, obtenemos:
\ bold {a \ times b} = (a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k}) \ times (b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ negrita {k}) \\ = a_xb_x \ negrita {i \ veces i} + a_xb_y \ negrita {i \ veces j} + a_xb_z \ bold {i \ times k} \\ + a_yb_x \ bold {j \ times i} + a_yb_y \ bold {j \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} \\ + a_zb_x \ bold {k \ veces i} + a_zb_y \ bold {k \ times j} + a_zb_z \ bold {k \ times k}
Luego, usando las relaciones de vectores unitarios anteriores, esto se simplifica a:
\ bold {a \ times b} = a_xb_y \ bold {i \ times j} - a_xb_z \ bold {k \ times i} - a_yb_x \ bold {i \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} + a_zb_x \ bold {k \ times i} - a_zb_y \ bold {j \ times k} \\ = (a_xb_y - a_yb_x) \ bold {i \ times j} + (a_zb_x - a_xb_z) \ bold {k \ times i} + (a_yb_z - a_zb_y) \ bold {j \ times k} \\ = (a_yb_z - a_zb_y) \ bold { i} + (a_zb_x - a_xb_z) \ bold {j} + (a_xb_y - a_yb_x) \ bold {k}
(Tenga en cuenta que los términos cuyo producto cruzado fue 0 son los términos que forman el producto escalar (también llamado producto escalar).Esto no es una coincidencia).
En otras palabras:
\ bold {a \ times b} = \ bold {c} = (c_x, c_y, c_z) \ text {donde} \\ c_x = a_yb_z - a_zb_y \\ c_y = a_zb_x - a_xb_z \\ c_z = a_xb_y - a_yb_x
La magnitud del producto cruzado se puede encontrar usando el teorema de Pitágoras.
La fórmula del producto cruzado también se puede expresar como el determinante de la siguiente matriz:
\ bold {a \ times b} = \ Bigg | \ begin {matrix} \ bold {i} & \ bold {j} & \ bold {k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \ end {matriz} \ Bigg | \\ = \ Big | \ begin {matrix} a_y & a_z \\ b_y & b_z \ end {matriz} \ Big | \ bold {i} - \ Big | \ begin {matrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \ end {matrix} \ Big | \ bold {j} + \ Big | \ begin {matriz} a_x & a_y \\ b_x & b_y \ end {matriz} \ Big | \ bold {k}
\ text {Donde el determinante} \ Big | \ begin {matriz} a & b \\ c & d \ end {matriz} \ Big | = anuncio - bc
Otra formulación, a menudo muy conveniente, del producto cruzado es (ver el final de este artículo para la derivación):
\ bold {a × b} = | \ bold {a} | | \ bold {b} | \ sin (θ) \ bold {n}
Dónde:
- |a| es la magnitud (longitud) del vectora
- |B| es la magnitud (longitud) del vectorB
- θ es el ángulo entre ay B
- nortees el vector unitario perpendicular al plano abarcado por ayB
Vectores perpendiculares y la regla de la mano derecha
En la descripción del producto cruzado, se establece que la dirección del producto cruzado es perpendicular al plano generado por el vectoray vectorB. Pero esto deja dos posibilidades: podría apuntarfuera deel avión odentroel plano atravesado por esos vectores. La realidad es que podemos elegir cualquiera de las dos siempre que seamos consistentes. La dirección preferida elegida por matemáticos y científicos por igual, sin embargo, está determinada por algo llamadoregla de la mano derecha.
Para determinar la dirección de un producto cruzado vectorial usando la regla de la mano derecha, apunte el dedo índice de su mano derecha en la dirección del vectoray tu dedo medio en la dirección del vectorB. Luego, su pulgar apunta en la dirección del vector de producto cruzado.
A veces, estas instrucciones son difíciles de representar en una hoja de papel plana, por lo que a menudo se establecen las siguientes convenciones:
Para indicar un vector que entra en la página, dibujamos un círculo con una X en él (piense que esto representa las plumas de la cola en el extremo de la flecha cuando lo mira desde atrás). Para indicar un vector que sale de la página en la dirección opuesta, dibujamos un círculo con un punto (piense en esto como la punta de la flecha que apunta hacia afuera de la página).
•••n / A
Propiedades del producto cruzado
Las siguientes son varias propiedades del producto cruzado vectorial:
\#\texto 1. Si} \ bold {a} \ text {y} \ bold {b} \ text {son paralelos, entonces} \ bold {a \ times b} = 0
\ # \ text {2. } \ bold {a \ times b} = - \ bold {b \ times a}
\ # \ text {3. } \ bold {a \ times (b + c)} = \ bold {a \ times b} + \ bold {a \ times c}
\ # \ text {4. } (c \ bold {a) \ times b} = c (\ bold {a \ times b})
\ # \ text {5. } \ bold {a \ cdot (b \ times c}) = \ bold {(a \ times b) \ cdot c}
\ text {Donde} \ bold {a \ cdot (b \ times c}) = \ Bigg | \ begin {matrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \ end {matrix } \ Bigg |
Interpretación geométrica del producto cruzado
Cuando el producto vectorial cruzado se formula en términos de sen (θ), su magnitud se puede interpretar como la representación del área del paralelogramo generado por los dos vectores. Esto es porque paraa × b, |B| sin (θ) = la altura del paralelogramo, como se muestra, y |a| es la base.
•••Dana Chen | Ciencia
La magnitud del producto triple del vectora (b × c) a su vez puede interpretarse como el volumen del paralelepípedo atravesado por los vectoresa, ByC. Esto es porque(b × c) da un vector cuya magnitud es el área abarcada por el vectorBy vectorC, y cuya dirección es perpendicular a esa área. Tomando el producto escalar del vectoracon este resultado, esencialmente multiplica el área de la base por la altura.
Ejemplos de
Ejemplo 1:La fuerza sobre una partícula de carga.qmoviéndose con velocidadven campo magnéticoBes dado por:
\ bold {F} = q \ bold {v \ times B}
Suponga que un electrón pasa a través de un campo magnético de 0.005 T a una velocidad de 2 × 107 Sra. Si pasa perpendicularmente a través del campo, entonces la fuerza que sentirá es:
\ bold {F} = q \ bold {v \ times B} = qvB \ sin (\ theta) \ bold {n} = (-1.602 \ times 10 ^ {19}) (2 \ times 10 ^ 7) (0.005 ) \ sin (90) \ bold {n} = -1.602 \ times 10 ^ {- 14} \ text {N} \ bold {n}
Sin embargo, si el electrón viaja paralelo al campo, entonces θ = 0 y sin (0) = 0, lo que hace que la fuerza sea 0.
Tenga en cuenta que para el electrón que pasa perpendicularmente a través del campo, esta fuerza hará que se mueva en una trayectoria circular. El radio de esta trayectoria circular se puede encontrar estableciendo la fuerza magnética igual a la fuerza centrípeta y resolviendo el radior:
F_ {mag} = qvB \ sin (90) = qvB = \ frac {mv ^ 2} {r} = F_ {cent} \\ \ implica r = \ frac {mv} {qB}
Para el ejemplo anterior, al insertar los números se obtiene un radio de aproximadamente 0.0227 m.
Ejemplo 2:El par de cantidad física también se calcula utilizando un producto cruzado vectorial. Si una fuerzaFse aplica a un objeto en la posiciónrdesde el punto de pivote, el parτsobre el punto de pivote viene dado por:
\ bold {\ tau} = \ bold {r \ times F}
Considere la situación en la que se aplica una fuerza de 7 N en ángulo al extremo de una varilla de 0,75 cuyo otro extremo está unido a un pivote. El ángulo entreryFes de 70 grados, por lo que el par se puede calcular:
\ bold {\ tau} = \ bold {r \ times F} = rF \ sin (\ theta) = (0.75) (7) \ sin (70) \ bold {n} = 4.93 \ text {Nm} \ bold { norte}
La dirección del par,norte, se encuentra mediante la regla de la mano derecha. Si se aplica a la imagen de arriba, da una dirección que sale de la página o pantalla. En general, un par de torsión aplicado a un objeto querrá hacer que el objeto gire. El vector de par siempre estará en la misma dirección que el eje de rotación.
De hecho, se puede usar una regla simplificada de la mano derecha en esta situación: use su mano derecha para "agarrar" el eje de rotación en de tal manera que sus dedos se curven en la dirección en la que el par de torsión asociado querrá hacer que el objeto gire. Luego, su pulgar apunta en la dirección del vector de torsión.
Derivación de la fórmula de productos cruzados
\ text {Aquí mostraremos cómo la fórmula de productos cruzados} \ bold {a × b} = | \ bold {a} | | \ bold {b} | \ sin (θ) \ bold {n} \ text {se puede derivar.}
Considere dos vectoresayBcon anguloθentre ellos. Se puede formar un triángulo rectángulo dibujando una línea desde la punta del vectoraa un punto de contacto perpendicular en el vectorB.
Usando el teorema de Pitágoras, obtenemos la siguiente relación:
\ Big | \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b} \ Big | ^ 2 + (| \ bold {a} | \ sin (\ theta)) ^ 2 = | \ bold {a} | ^ 2
\ text {Donde} \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b} \ text {es la proyección del vector} \ bold {a} \ text {sobre el vector} \ bold {b}.
Simplificando un poco la expresión, obtenemos lo siguiente:
\ frac {| \ bold {a \ cdot b} | ^ 2} {| \ bold {b} | ^ 2} + | \ bold {a} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ bold { a} | ^ 2
Luego, multiplique ambos lados de la ecuación por |B|2 y mueva el primer término al lado derecho para obtener:
| \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 - | \ bold { a \ cdot b} | ^ 2
Trabajando con el lado derecho, multiplique todo y luego simplifique:
| \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 - | \ bold {a \ cdot b} | ^ 2 = [(a_x) ^ 2 + (a_y) ^ 2 + (a_z) ^ 2 ] [(b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2] \\ - (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) \\ = (a_xb_y) ^ 2 + (a_xb_z) ^ 2 + (a_yb_x) ^ 2 + (a_yb_z) ^ 2 + (a_zb_x) ^ 2 + a_zb_y) ^ 2 \\ - 2a_xa_yb_xb_y - 2a_xa_zb_xb_z - 2a_ya_zb_yb_z \\ = (a_yb_y_y) + 2 (a_xb_y - a_yb_x) ^ 2 \\ = | \ bold {a \ times b} | ^ 2
Al igualar el resultado al lado izquierdo de la ecuación anterior, obtenemos la siguiente relación:
| \ bold {a \ times b} | = | \ negrita {a} || \ negrita {b} || \ sin (\ theta) |
Esto nos muestra que las magnitudes son las mismas en la fórmula, por lo que lo último que debe hacer para probar la fórmula es mostrar que las direcciones también son las mismas. Esto se puede hacer simplemente tomando los productos escalares deacona × byBcona × by mostrando que son 0, lo que implica que la dirección dea × b es perpendicular a ambos.