Energía cinética rotacionaldescribe la energía de movimiento resultante de la rotación o movimiento circular de un objeto. Recordar queenergía cinética linealde una masametromoviéndose con velocidadvestá dado por 1 / 2mv2. Este es un cálculo sencillo para cualquier objeto que se mueva en línea recta. Se aplica al centro de masa del objeto, lo que permite que el objeto se aproxime como una masa puntual.
Ahora bien, si queremos describir la energía cinética de un objeto extendido que experimenta un movimiento más complejo, el cálculo se vuelve más complicado.
Podríamos hacer aproximaciones sucesivas dividiendo el objeto extendido en pequeños pedazos, cada uno de los cuales puede aproximarse como un masa puntual, y luego calcule la energía cinética lineal para cada masa puntual por separado, y sume todas para encontrar el total de la masa puntual objeto. Cuanto más pequeño separamos el objeto, mejor será la aproximación. En el límite donde las piezas se vuelven infinitesimales, esto se puede hacer con cálculo.
¡Pero estamos de suerte! Cuando se trata de movimiento de rotación, hay una simplificación. Para un objeto en rotación, si describimos su distribución de masa alrededor del eje de rotación en términos de su momento de inercia,I, entonces podemos usar una ecuación de energía cinética rotacional simple, discutida más adelante en este artículo.
Momento de inercia
Momento de inerciaes una medida de lo difícil que es hacer que un objeto cambie su movimiento de rotación alrededor de un eje en particular. El momento de inercia de un objeto en rotación depende no solo de la masa del objeto, sino también de cómo se distribuye esa masa alrededor del eje de rotación. Cuanto más lejos del eje esté distribuida la masa, más difícil será cambiar su movimiento de rotación y, por tanto, mayor será el momento de inercia.
Las unidades SI para el momento de inercia son kgm2 (lo cual es consistente con nuestra noción de que depende de la masa y de la distancia desde el eje de rotación). Los momentos de inercia para diferentes objetos se pueden encontrar en una tabla o en cálculo.
Consejos
El momento de inercia de cualquier objeto se puede encontrar utilizando el cálculo y la fórmula para el momento de inercia de una masa puntual.
Ecuación de energía cinética rotacional
La fórmula de la energía cinética rotacional viene dada por:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2
DóndeIes el momento de inercia del objeto yωes la velocidad angular del objeto en radianes por segundo (rad / s). La unidad SI para la energía cinética rotacional es el joule (J).
La forma de la fórmula de la energía cinética rotacional es análoga a la ecuación de la energía cinética de traslación; El momento de inercia juega el papel de la masa y la velocidad angular reemplaza a la velocidad lineal. Tenga en cuenta que la ecuación de energía cinética rotacional da el mismo resultado para una masa puntual que la ecuación lineal.
Si imaginamos una masa puntualmetromoviéndose en un círculo de radiorcon velocidadv, entonces su velocidad angular es ω = v / ry su momento de inercia es mr2. Ambas ecuaciones de energía cinética dan el mismo resultado, como se esperaba:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (mr ^ 2) (v / r) ^ 2 = \ frac {1} {2} \ frac {m \ cancelar {r ^ 2} v ^ 2} {\ cancelar {r ^ 2}} = \ frac {1} {2} mv ^ 2 = KE_ {lin}
Si un objeto está girando y su centro de masa se mueve a lo largo de una trayectoria en línea recta (como sucede con una llanta rodante, por ejemplo), entoncesenergía cinética totales la suma de la energía cinética de rotación y las energías cinética de traslación:
KE_ {tot} = KE_ {rot} + KE_ {lin} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
Ejemplos que utilizan la fórmula de energía cinética rotacional
La fórmula de la energía cinética rotacional tiene muchas aplicaciones. Se puede utilizar para calcular la energía cinética simple de un objeto que gira, para calcular la energía cinética de un objeto rodante (un objeto que experimenta movimiento de rotación y traslación) y para resolver otros incógnitas. Considere los siguientes tres ejemplos:
Ejemplo 1:La Tierra gira sobre su eje aproximadamente una vez cada 24 horas. Si asumimos que tiene una densidad uniforme, ¿cuál es su energía cinética rotacional? (El radio de la tierra es 6.37 × 106 m, y su masa es 5.97 × 1024 kg.)
Para encontrar la energía cinética rotacional, primero debemos encontrar el momento de inercia. Aproximando la Tierra como una esfera sólida, obtenemos:
I = \ frac {2} {5} mr ^ 2 = \ frac {2} {5} (5.97 \ times10 ^ {24} \ text {kg}) (6.37 \ times10 ^ 6 \ text {m}) ^ 2 = 9,69 \ times10 ^ {37} \ text {kgm} ^ 2
La velocidad angular es de 2π radianes / día. Convertir esto a rad / s da:
2 \ pi \ frac {\ text {radianes}} {\ cancel {\ text {día}}} \ frac {1 \ cancel {\ text {día}}} {86400 \ text {segundos}} = 7.27 \ times10 ^ {-5} \ text {rad / s}
Entonces, la energía cinética rotacional de la Tierra es entonces:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (9,69 \ times10 ^ {37} \ text {kgm} ^ 2) (7,27 \ times10 ^ {- 5} \ text {rad / s}) ^ 2 = 2.56 \ times 10 ^ {29} \ text {J}
Dato curioso: ¡Esto es más de 10 veces la energía total que emite el sol en un minuto!
Ejemplo 2:Un cilindro uniforme de 0.75 kg de masa y 0.1 m de radio rueda por el piso a una velocidad constante de 4 m / s. ¿Cuál es su energía cinética?
La energía cinética total viene dada por:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
En este caso, I = 1/2 mr2 es el momento de inercia de un cilindro macizo, yωestá relacionado con la velocidad lineal a través de ω = v / r.
Simplificando la expresión para la energía cinética total y conectando los valores da:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} (\ frac {1} {2} mr ^ 2) (v / r) ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {1 } {4} mv ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {3} {4} mv ^ 2 \\ = \ frac {3} {4} (0,75 \ text {kg}) (4 \ text {m / s}) = 2,25 \ text {J}
¡Tenga en cuenta que ni siquiera necesitamos usar el radio! Se canceló debido a la relación directa entre la velocidad de rotación y la velocidad lineal.
Ejemplo 3:Un estudiante en bicicleta desciende por una colina desde el descanso. Si la altura vertical de la colina es 30 m, ¿qué tan rápido va el estudiante al pie de la colina? Suponga que la bicicleta pesa 8 kg, el ciclista pesa 50 kg, cada rueda pesa 2,2 kg (incluido en el peso de la bicicleta) y cada rueda tiene un diámetro de 0,7 m. Aproxime las ruedas como aros y suponga que la fricción es insignificante.
Aquí podemos usar la conservación de energía mecánica para encontrar la velocidad final. La energía potencial en la parte superior de la colina se convierte en energía cinética en la parte inferior. Esa energía cinética es la suma de la energía cinética de traslación de todo el sistema persona + bicicleta y las energías cinéticas de rotación de los neumáticos.
Energía total del sistema:
E_ {tot} = PE_ {top} = mgh = (50 \ text {kg} + 8 \ text {kg}) (9.8 \ text {m / s} ^ 2) (30 \ text {m}) = 17.052 \ texto {J}
La fórmula para la energía total en términos de energías cinéticas en la parte inferior de la colina es:
E_ {tot} = KE_ {bottom} = \ frac {1} {2} I_ {llantas} \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = \ frac {1} {2} (2 \ times m_ {tire} \ times r_ {neumático} ^ 2) (v / r_ {neumático}) ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = m_ {neumático} v ^ 2 + \ frac {1} { 2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = (m_ {neumático} + \ frac {1} {2} m_ {tot}) v ^ 2
Resolviendo paravda:
v = \ sqrt {\ frac {E_ {tot}} {m_ {neumático} + \ frac {1} {2} m_ {tot}}}
Finalmente, conectando números obtenemos nuestra respuesta:
v = \ sqrt {\ frac {17.052 \ text {J}} {2.2 \ text {kg} + \ frac {1} {2} 58 \ text {kg}}} = 23.4 \ text {m / s}
