La trigonometría puede parecer un tema bastante abstracto. Términos arcanos como "pecado" y "cos" simplemente no parecen corresponder a nada en la realidad, y es difícil entenderlos como conceptos. El círculo unitario ayuda sustancialmente con esto, ofreciendo una explicación sencilla de cuáles son los números que obtiene cuando toma el seno, el coseno o la tangente de un ángulo. Para cualquier estudiante de ciencias o matemáticas, comprender el círculo unitario realmente puede cimentar su comprensión de la trigonometría y cómo usar las funciones.
TL; DR (demasiado largo; No leí)
Un círculo unitario tiene un radio de uno. Imagina unxysistema de coordenadas comenzando en el centro de este círculo. Los ángulos de los puntos se miden desde dondeX= 1 yy= 0, en el lado derecho del círculo. Los ángulos aumentan a medida que se mueve en sentido antihorario.
Usando este marco, yyPara ely-coordinar yXPara elX-coordinada del punto en el círculo:
pecadoθ = y
porqueθ = X
Y consecuentemente:
broncearseθ = y / X
¿Qué es el círculo unitario?
Un círculo de "unidad" tiene un radio de 1. En otras palabras, la distancia desde el centro del círculo hasta cualquier parte del borde es siempre 1. La unidad de medida realmente no importa, porque lo más importante del círculo unitario es que hace que muchas ecuaciones y cálculos sean mucho más simples.
También sirve como base útil para examinar las definiciones de ángulos. Imagine que el centro del círculo se encuentra en el centro de un sistema de coordenadas con unX-eje que corre horizontal y uny-Eje funcionando verticalmente. El círculo cruza elX-eje enX = 1, y= 0. Los científicos y matemáticos definen el ángulo desde ese punto que se mueve en dirección contraria a las agujas del reloj. Entonces el puntoX =1, y= 0 en el círculo forma un ángulo de 0 °.
Las definiciones de pecado y cos con el círculo unitario
Las definiciones ordinarias de pecado, cos y tan que se les da a los estudiantes se relacionan con los triángulos. Ellos afirman:
\ sin θ = \ frac {\ text {opuesto}} {\ text {hipotenusa}} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ text {adyacente}} {\ text {hipotenusa}} \\ \, \\ \ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
El "opuesto" se refiere a la longitud del lado del triángulo opuesto al ángulo, "adyacente" se refiere a la longitud del lado junto al ángulo y "hipotenusa" se refiere a la longitud del lado diagonal de la triángulo.
Imagine crear un triángulo de modo que la hipotenusa sea siempre el radio del círculo unitario, con una esquina en el borde del círculo y otra en su centro. Esto significa que hipotenusa = 1 en las ecuaciones anteriores, por lo que las dos primeras se convierten en:
\ sin θ = \ frac {\ text {opuesto}} {1} = \ text {opuesto} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ text {adyacente}} {1} = \ text {adyacente} \\
Si hace que el ángulo en cuestión sea el que está en el centro del círculo, lo opuesto es solo ely-coordinado y el adyacente es solo elX-coordinada del punto del círculo que toca el triángulo. En otras palabras, el pecado devuelve ely-coordinar en el círculo unitario (usando coordenadas que comienzan en el centro) para un ángulo dado y cos devuelve elX-coordinar. Es por eso que cos (0) = 1 y sin (0) = 0, porque en este punto esas son las coordenadas. Asimismo, cos (90) = 0 y sin (90) = 1, porque este es el punto conX= 0 yy= 1. En forma de ecuación:
\ sin θ = y \\ \ cos θ = x
Los ángulos negativos también son fáciles de entender sobre la base de esto. Los ángulos negativos (medidos en el sentido de las agujas del reloj desde el punto de partida) tienen el mismoXcoordenada como el ángulo positivo correspondiente, entonces:
\ cos -θ = \ cos θ
sin embargo, ely-interruptores de coordinación, lo que significa que
\ sin -θ = - \ sin θ
La definición de bronceado con el círculo unitario
La definición de bronceado dada anteriormente es:
\ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
Pero con las definiciones de círculo unitario de sin y cos, puede ver que esto es equivalente a:
\ tan θ = \ frac {\ text {opuesto}} {\ text {adyacente}}
O, pensando en términos de coordenadas:
\ tan θ = \ frac {y} {x}
Esto explica por qué tan no está definido para 90 ° o −270 ° y 270 ° o −90 ° (dondeX= 0), porque no se puede dividir por cero.
Graficar funciones trigonométricas
Graficar pecado o cos se vuelve más fácil cuando piensas en el círculo unitario. LaX-La coordenada varía suavemente a medida que se mueve alrededor del círculo, comenzando en 1 y disminuyendo hasta un mínimo de -1 a 180 °, y luego aumentando de la misma manera. La función sin hace lo mismo, pero aumenta a un valor máximo de 1 a 90 ° primero, antes de seguir el mismo patrón. Se dice que las dos funciones están desfasadas 90 ° entre sí.
Graficar el bronceado requiere dividiryporX, por lo que es más complicado de graficar y también tiene puntos en los que no está definido.