La ley de los senos es una fórmula que compara la relación entre los ángulos de un triángulo y las longitudes de sus lados. Siempre que sepa al menos dos lados y un ángulo, o dos ángulos y un lado, puede usar la ley de los senos para encontrar las otras piezas de información que faltan sobre su triángulo. Sin embargo, en un conjunto muy limitado de circunstancias, puede terminar con dos respuestas a la medida de un ángulo. Esto se conoce como el caso ambiguo de la ley de los senos.
Cuando puede suceder el caso ambiguo
El caso ambiguo de la ley de los senos solo puede ocurrir si la parte de "información conocida" de su triángulo consta de dos lados y un ángulo, donde el ángulo esnoentre los dos lados conocidos. Esto a veces se abrevia como SSA o triángulo de ángulo lateral. Si el ángulo estuviera entre los dos lados conocidos, se abreviaría como SAS o triángulo de lado-ángulo-lado, y el caso ambiguo no se aplicaría.
Un resumen de la ley de los senos
La ley de los senos se puede escribir de dos maneras. La primera forma es conveniente para encontrar las medidas de los lados faltantes:
\ frac {a} {\ sin (A)} = \ frac {b} {\ sin (B)} = \ frac {c} {\ sin (C)}
La segunda forma es conveniente para encontrar las medidas de los ángulos faltantes:
\ frac {\ sin (A)} {a} = \ frac {\ sin (B)} {b} = \ frac {\ sin (C)} {c}
Tenga en cuenta que ambas formas son equivalentes. Usar una forma u otra no cambiará el resultado de sus cálculos. Simplemente hace que sea más fácil trabajar con ellos dependiendo de la solución que esté buscando.
Cómo se ve el caso ambiguo
En la mayoría de los casos, la única pista de que puede tener un caso ambiguo en sus manos es la presencia de un triángulo SSA donde se le pide que encuentre uno de los ángulos faltantes. Imagina que tienes un triángulo con un ánguloA= 35 grados, laterala= 25 unidades y lateralB= 38 unidades, y se le ha pedido que encuentre la medida del ánguloB. Una vez que encuentre el ángulo que falta, debe verificar si se aplica el caso ambiguo.
Inserte su información conocida en la ley de los senos. Usando el segundo formulario, esto le da:
\ frac {\ sin (35)} {25} = \ frac {\ sin (B)} {38} = \ frac {\ sin (C)} {c}
Hacer caso omiso del pecadoC)/C; es irrelevante a los efectos de este cálculo. Así que realmente tienes:
\ frac {\ sin (35)} {25} = \ frac {\ sin (B)} {38}
ResolverB. Una opción es la multiplicación cruzada; esto te da:
25 × \ sin (B) = 38 × \ sin (35)
Luego, simplifique usando una calculadora o una tabla para encontrar el valor de sin (35). Es aproximadamente 0.57358, lo que le da:
25 × \ sin (B) = 38 × 0.57358
que se simplifica a:
25 × \ sin (B) = 21,79604
Luego, divide ambos lados entre 25 para aislar sin (B), dandote:
\ sin (B) = 0.8718416
Para terminar de resolverB, tome el arcoseno o el seno inverso de 0.8718416. O, en otras palabras, use su calculadora o tabla para encontrar el valor aproximado de un ángulo B que tiene el seno de 0.8718416. Ese ángulo es de aproximadamente 61 grados.
Compruebe el caso ambiguo
Ahora que tiene una solución inicial, es hora de verificar el caso ambiguo. Este caso aparece porque para cada ángulo agudo, hay un ángulo obtuso con el mismo seno. Entonces, mientras ~ 61 grados es el ángulo agudo que tiene un seno de 0.8718416, también debe considerar el ángulo obtuso como una posible solución. Esto es un poco complicado porque su calculadora y su tabla de valores sinusoidales probablemente no le dirán sobre el ángulo obtuso, por lo que debe recordar verificarlo.
Encuentra el ángulo obtuso con el mismo seno restando el ángulo que encontraste (61 grados) de 180. Entonces tienes 180 - 61 = 119. Entonces 119 grados es el ángulo obtuso que tiene el mismo seno que 61 grados. (Puede verificar esto con una calculadora o una tabla de senos).
Pero, ¿ese ángulo obtuso formará un triángulo válido con la otra información que tienes? Puede verificar fácilmente agregando ese nuevo ángulo obtuso al "ángulo conocido" que le dieron en el problema original. Si el total es inferior a 180 grados, el ángulo obtuso representa una solución válida y tendrá que continuar con los cálculos adicionales conambas cosastriángulos válidos en consideración. Si el total es más de 180 grados, el ángulo obtuso no representa una solución válida.
En este caso, el "ángulo conocido" era de 35 grados y el ángulo obtuso recién descubierto era de 119 grados. Así que tienes:
119 + 35 = 154 \ text {grados}
Como 154 grados <180 grados, se aplica el caso ambiguo y tiene dos soluciones válidas: el ángulo en cuestión puede medir 61 grados o puede medir 119 grados.