¿Qué sucede cuando se aumenta un número a una fracción?

Cuando "elevas un número a una potencia", estás multiplicando el número por sí mismo, y la "potencia" representa cuántas veces lo haces. Entonces, 2 elevado a la tercera potencia es lo mismo que 2 x 2 x 2, que es igual a 8. Sin embargo, cuando elevas un número a una fracción, vas en la dirección opuesta: estás tratando de encontrar la "raíz" del número.

El término matemático para elevar un número a una potencia es "exponenciación". Una expresión exponencial tiene dos partes: la base, que es el número que estás elevando y el exponente, que es la "potencia". Entonces, cuando elevas 2 a la tercera potencia, la base es 2 y el exponente es 3. Elevar la base a la 2ª potencia se denomina comúnmente cuadrar la base, mientras que elevarla a la 3ª potencia se denomina comúnmente elevar la base al cubo. Los matemáticos suelen escribir expresiones exponenciales con el exponente en superíndice, es decir, como un número pequeño en la parte superior derecha de la base. Debido a que algunas computadoras, calculadoras y otros dispositivos no manejan muy bien el superíndice, las expresiones exponenciales también se escriben comúnmente así: 2 ^ 3. El signo de intercalación, el símbolo que apunta hacia arriba, le dice que lo que sigue es el exponente.

En matemáticas, las "raíces" son un poco como exponentes a la inversa. Por ejemplo, tome "2 elevado a 4ª potencia", abreviado como 2 ^ 4. Eso es igual a 2 x 2 x 2 x 2 o 16. Dado que 2 multiplicado por sí mismo cuatro veces es igual a 16, la "cuarta raíz" de 16 es 2. Ahora mira el número 729. Eso se descompone en 9 x 9 x 9, por lo que 9 es la tercera raíz de 729. También se divide en 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3, por lo que 3 es la sexta raíz de 729. La segunda raíz de un número se denomina comúnmente raíz cuadrada, y la tercera raíz es la raíz cúbica.

Cuando el exponente es una fracción, estás buscando una raíz de la base. La raíz corresponde al denominador de la fracción. Por ejemplo, tome "125 elevado a 1/3 de potencia" o 125 ^ 1/3. El denominador de la fracción es 3, por lo que está buscando la tercera raíz (o raíz cúbica) de 125. Como 5 x 5 x 5 = 125, la tercera raíz de 125 es 5. Por lo tanto, 125 ^ 1/3 = 5. Ahora intente 256 ^ 1/4. Estás buscando la cuarta raíz de 256. Dado que 4 x 4 x 4 x 4 = 256, la respuesta es 4.

La exponentes fraccionarios discutido hasta este punto - 1/3 y 1/4 - cada uno ha tenido un numerador de 1. Si el numerador es diferente de 1, el exponente en realidad le está indicando que realice dos operaciones: encontrar una raíz y elevar a una potencia. Por ejemplo, tome 8 ^ 2/3. El denominador "3" te dice que estás buscando una raíz cúbica; el numerador "2" te dice que subirás a la 2ª potencia. No importa qué operación realice primero. Obtendrá el mismo resultado de cualquier manera. Entonces, podrías comenzar tomando la tercera raíz de 8, que es 2, y luego elevarla a la segunda potencia, lo que te daría 4. O puede comenzar elevando 8 a la segunda potencia, que es igual a 64, y luego sacar la tercera raíz de ese número, que es 4. Mismo resultado.

De hecho, la regla de "numerador como potencia, denominador como raíz" se aplica a todos los exponentes, incluso exponentes de números enteros y exponentes fraccionarios con un numerador de 1. Por ejemplo, el número entero 2 es equivalente a la fracción 2/1. Entonces, la expresión exponencial 9 ^ 2 es "realmente" 9 ^ 2/1. Elevar 9 a la segunda potencia te da 81. Ahora tienes que obtener la "primera raíz" de 81. Pero la primera raíz de cualquier número es el número en sí, por lo que la respuesta sigue siendo 81. Ahora mira la expresión 9 ^ 1/2. Puede comenzar elevando 9 a la "1ª potencia". Pero cualquier número elevado a la 1ª potencia es el número en sí. Entonces, todo lo que tienes que hacer es obtener la raíz cuadrada de 9, que es 3. La regla aún se aplica, pero en estas situaciones, puede omitir un paso.