La mayoría de la gente recuerda elTeorema de pitágorasde geometría para principiantes, es un clásico. Es
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2
dóndea, ByCson los lados de un triángulo rectángulo (Ces la hipotenusa). Bueno, ¡este teorema también se puede reescribir para trigonometría!
TL; DR (demasiado largo; No leí)
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Las identidades pitagóricas son ecuaciones que escriben el Teorema de Pitágoras en términos de funciones trigonométricas.
El principalIdentidades pitagóricasestán:
\ sin ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1 \\ 1 + \ tan ^ 2 (θ) = \ sec ^ 2 (θ) \\ 1 + \ cot ^ 2 (θ) = \ csc ^ 2 (θ)
Las identidades pitagóricas son ejemplos deidentidades trigonométricas: igualdades (ecuaciones) que utilizan funciones trigonométricas.
¿Por qué eso importa?
Las identidades pitagóricas pueden ser muy útiles para simplificar enunciados y ecuaciones trigonométricas complicadas. Memorícelos ahora y podrá ahorrar mucho tiempo en el futuro.
Prueba usando las definiciones de las funciones trigonométricas
Estas identidades son bastante simples de probar si piensa en las definiciones de las funciones trigonométricas. Por ejemplo, demostremos que
\ sin ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1
Recuerde que la definición de seno es lado opuesto / hipotenusa y que el coseno es lado adyacente / hipotenusa.
Entonces
\ sin ^ 2 = \ frac {\ text {opuesto} ^ 2} {\ text {hipotenusa} ^ 2}
Y
\ cos ^ 2 = \ frac {\ text {adyacente} ^ 2} {\ text {hipotenusa} ^ 2}
Puede sumar estos dos fácilmente porque los denominadores son los mismos.
\ sin ^ 2 + \ cos ^ 2 = \ frac {\ text {opuesto} ^ 2 + \ text {adyacente} ^ 2} {\ text {hipotenusa} ^ 2}
Ahora eche otro vistazo al Teorema de Pitágoras. Dice quea2 + B2 = C2. Manten eso en menteayBrepresentan los lados opuestos y adyacentes, yCrepresenta la hipotenusa.
Puede reorganizar la ecuación dividiendo ambos lados porC2:
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \\ \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = 1
Desdea2 yB2 son los lados opuestos y adyacentes yC2 es la hipotenusa, tienes un enunciado equivalente al anterior, con (opuesto2 + adyacente2) / hipotenusa2. Y gracias al trabajo cona, B, Cy el Teorema de Pitágoras, ¡ahora puedes ver que esta declaración es igual a 1!
Entonces
\ frac {\ text {opuesto} ^ 2 + \ text {adyacente} ^ 2} {\ text {hipotenusa} ^ 2} = 1
y por lo tanto:
\ sin ^ 2 + \ cos ^ 2 = 1
(Y es mejor escribirlo correctamente: pecado2(θ) + cos2(θ) = 1).
Las identidades recíprocas
Dediquemos unos minutos a mirar elidentidades recíprocastambién. Recuerda que elrecíprocoes uno dividido por ("sobre") su número, también conocido como inverso.
Dado que la cosecante es el recíproco del seno:
\ csc (θ) = \ frac {1} {\ sin (θ)}
También puede pensar en cosecante usando la definición de seno. Por ejemplo, seno = lado opuesto / hipotenusa. Lo inverso de eso será la fracción invertida, que es hipotenusa / lado opuesto.
De manera similar, el recíproco del coseno es secante, por lo que se define como
\ sec (θ) = \ frac {1} {\ cos (θ)} \ text {o} \ frac {\ text {hipotenusa}} {\ text {lado adyacente}}
Y el recíproco de la tangente es cotangente, entonces
\ cot (θ) = \ frac {1} {\ tan (θ)} = \ frac {\ text {lado adyacente}} {\ text {lado opuesto}}
Las pruebas de las identidades pitagóricas que utilizan secante y cosecante son muy similares a las del seno y coseno. También puede derivar las ecuaciones usando la ecuación "principal", sin2(θ) + cos2(θ) = 1. Dividir ambos lados por cos2(θ) para obtener la identidad 1 + tan2(θ) = seg2(θ). Divide ambos lados por el pecado2(θ) para obtener la identidad 1 + cuna2(θ) = csc2(θ).
¡Buena suerte y asegúrate de memorizar las tres identidades pitagóricas!