En matemáticas, un recíproco de un número es el número que, cuando se multiplica por el número original, produce 1. Por ejemplo, el recíproco de la variable x es 1 /X, porque
x × \ frac {1} {x} = \ frac {x} {x} = 1
En este ejemplo, 1 /Xes la identidad recíproca deX, y viceversa. En trigonometría, cualquiera de los ángulos que no son de 90 grados en un triángulo rectángulo se puede definir mediante razones llamadas seno, coseno y tangente. Aplicando el concepto de identidades recíprocas, los matemáticos definen tres proporciones más. Sus nombres son cosecante, secante y cotangente. Cosecante es la identidad recíproca de seno, secante de coseno y cotangente de tangente.
Cómo determinar identidades recíprocas
Considere un ánguloθ, que es uno de los dos ángulos que no son de 90 grados en un triángulo rectángulo. Si la longitud del lado del triángulo opuesto al ángulo es "B, "la longitud del lado adyacente al ángulo y opuesto a las hipotenusas es"a"y la longitud de la hipotenusa es"r, "podemos definir las tres razones trigonométricas primarias en términos de estas longitudes.
\ text {seno} θ = \ sin θ = \ frac {b} {r} \\ \, \\ \ text {coseno} θ = \ cos θ = \ frac {a} {r} \\ \, \\ \ text {tangente} θ = \ tan θ = \ frac {b} {a} \\
La identidad recíproca del pecadoθdebe ser igual a 1 / sin θ, ya que ese es el número que, cuando se multiplica por sinθ, produce 1. Lo mismo es cierto para cosθy bronceadoθ. Los matemáticos dan a estos recíprocos los nombres cosecante, secante y cotangente, respectivamente. Por definición:
\ text {cosecante} θ = \ csc θ = \ frac {1} {\ sin θ} \\ \, \\ \ text {secante} θ = \ sec θ = \ frac {1} {\ cos θ} \\ \, \\ \ text {cotangente} θ = \ cot θ = \ frac {1} {\ tan θ}
Puede definir estas identidades recíprocas en términos de las longitudes de los lados del triángulo rectángulo de la siguiente manera:
\ csc θ = \ frac {r} {b} \\ \, \\ \ sec θ = \ frac {r} {a} \\ \, \\ \ cot θ = \ frac {a} {b}
Las siguientes relaciones son verdaderas para cualquier ánguloθ:
\ sin θ × \ csc θ = 1 \\ \ cos θ × \ sec θ = 1 \\ \ tan θ × \ cot θ = 1
Otras dos identidades trigonométricas
Si conoce el seno y el coseno de un ángulo, puede derivar la tangente. Esto es cierto porque
\ sin θ = \ frac {b} {r} \ text {y} \ cos θ = \ frac {a} {r} \ text {, entonces} \ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ frac {b} {r} × \ frac {r} {a} = \ frac {b} {a}
Dado que esta es la definición de tan θ, la siguiente identidad, conocida como identidad del cociente, sigue:
\ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ tan θ \\ \, \\ \ frac {\ cos θ} {\ sin θ} = \ cot θ
La identidad pitagórica se deriva del hecho de que, para cualquier triángulo rectángulo con ladosayBe hipotenusar, lo siguiente es cierto:a2 + B2 = r2. Reordenando términos y definiendo proporciones en términos de seno y coseno, se llega a la siguiente expresión:
\ sin ^ 2 θ + \ cos ^ 2 θ = 1
A continuación se presentan otras dos relaciones importantes cuando inserta identidades recíprocas para el seno y el coseno en la expresión anterior:
\ tan ^ 2 θ + 1 = \ sec ^ 2 θ \\ \ cot ^ 2 θ + 1 = \ csc ^ 2 θ