Cómo simplificar fracciones radicales

Las fracciones radicales no son pequeñas fracciones rebeldes que se quedan hasta tarde, bebiendo y fumando marihuana. En cambio, son fracciones que incluyen radicales, generalmente raíces cuadradas cuando se le presenta por primera vez el concepto, pero más adelante también puede encontrar raíces cúbicas, cuartas raíces y similares, todas las cuales se llaman radicales también. Dependiendo exactamente de lo que tu maestro te pida que hagas, hay dos formas de simplificar fracciones radicales: O factorizar el radical por completo, simplifíquelo o "racionalice" la fracción, lo que significa que elimina el radical del denominador, pero aún puede tener un radical en el numerador.

Considere su primera opción, factorizar el radical de la fracción. En realidad, hay dos formas de hacer esto. Si el mismo radical existe en todos los términos tanto en la parte superior como en la inferior de la fracción, simplemente puede factorizar y cancelar la expresión radical. Por ejemplo, si tiene:

(2√3) / (3√3_)_

Puede factorizar ambos radicales, porque están presentes en todos los términos del numerador y denominador. Eso te deja con:

√3/√3 × 2/3

Y debido a que cualquier fracción con exactamente los mismos valores distintos de cero en el numerador y denominador es igual a uno, puede reescribir esto como:

1 × 2/3

O simplemente 2/3.

A veces, se encontrará con una expresión radical que no tiene una respuesta concisa, como √3 del ejemplo anterior. En ese caso, generalmente conservará el término radical tal como está, utilizando operaciones básicas como factorizar o cancelar para eliminarlo o aislarlo. Pero a veces hay una respuesta obvia. Considere la siguiente fracción:

(√4)/(√9)

En este caso, si conoce sus raíces cuadradas, puede ver que ambos radicales en realidad representan números enteros familiares. La raíz cuadrada de 4 es 2 y la raíz cuadrada de 9 es 3. Entonces, si ve raíces cuadradas familiares, puede reescribir la fracción con ellas en su forma entera simplificada. En este caso, tendrías:

2/3

Esto también funciona con raíces cúbicas y otros radicales. Por ejemplo, la raíz cúbica de 8 es 2 y la raíz cúbica de 125 es 5. Entonces, si encontraste:

(³√8) / (³√125)

Con un poco de práctica, podrá ver de inmediato que se simplifica mucho más simple y fácil de manejar:

2/5

A menudo, los profesores le permitirán mantener expresiones radicales en el numerador de su fracción; pero, al igual que el número cero, los radicales causan problemas cuando aparecen en el denominador o en el número inferior de la fracción. Entonces, la última forma en que se le puede pedir que simplifique las fracciones radicales es una operación llamada racionalizarlas, que solo significa sacar el radical del denominador. A menudo, eso significa que la expresión radical aparece en el numerador.

Considere la fracción

4/_√_5

No puede simplificar fácilmente _√_5 a un número entero, e incluso si lo factoriza, todavía le queda una fracción que tiene un radical en el denominador, de la siguiente manera:

1/_√_5 × 4/1

Por lo tanto, ninguno de los métodos ya discutidos funcionará. Pero si recuerda las propiedades de las fracciones, una fracción con cualquier número distinto de cero tanto en la parte superior como en la inferior es igual a 1. Entonces podrías escribir:

√_5/√_5 = 1

Y como puedes multiplicar 1 por cualquier otra cosa sin cambiar el valor de esa otra cosa, también puedes escribir lo siguiente sin cambiar realmente el valor de la fracción:

√_5/√5 × 4/√_5

Una vez que se multiplica, sucede algo especial. El numerador se convierte en 4_√_5, lo cual es aceptable porque tu objetivo era simplemente sacar el radical del denominador. Si aparece en el numerador, puede solucionarlo.

Mientras tanto, el denominador se convierte en √_5 × √5 o (√_5)². Y debido a que una raíz cuadrada y un cuadrado se cancelan entre sí, eso se simplifica a simplemente 5. Entonces tu fracción es ahora:

4_√_5 / 5, que se considera una fracción racional porque no hay radical en el denominador.