No puedes resolver una ecuación que contiene una fracción con un denominador irracional, lo que significa que el denominador contiene un término con un signo de radical. Esto incluye raíces cuadradas, cúbicas y superiores. Deshacerse del signo radical se llama racionalizar el denominador. Cuando el denominador tiene un término, puedes hacerlo multiplicando los términos superior e inferior por el radical. Cuando el denominador tiene dos términos, el procedimiento es un poco más complicado. Multiplica la parte superior e inferior por el conjugado del denominador y expande y simplemente el numerador.
TL; DR (demasiado largo; No leí)
Para racionalizar una fracción, debes multiplicar el numerador y el denominador por un número o expresión que elimine los signos radicales del denominador.
Racionalizar una fracción con un término en el denominador
Una fracción con la raíz cuadrada de un solo término en el denominador es la más fácil de racionalizar. En general, la fracción toma la formaa / √X. Lo racionalizas multiplicando el numerador y el denominador por √X.
\ frac {\ sqrt {x}} {\ sqrt {x}} × \ frac {a} {\ sqrt {x}} = \ frac {a \ sqrt {x}} {x}
Dado que todo lo que ha hecho es multiplicar la fracción por 1, su valor no ha cambiado.
Ejemplo:
Racionalizar
\ frac {12} {\ sqrt {6}}
Multiplica el numerador y el denominador por √6 para obtener
\ frac {12 \ sqrt {6}} {6}
Puede simplificar esto dividiendo 6 en 12 para obtener 2, por lo que la forma simplificada de la fracción racionalizada es
2 \ sqrt {6}
Racionalizar una fracción con dos términos en el denominador
Suponga que tiene una fracción en la forma
\ frac {a + b} {\ sqrt {x} + \ sqrt {y}}
Puede deshacerse del signo radical en el denominador multiplicando la expresión por su conjugado. Para un binomio general de la formaX + y, el conjugado esX − y. Cuando los multiplicas, obtienesX2 − y2. Aplicando esta técnica a la fracción generalizada anterior:
\ frac {a + b} {\ sqrt {x} + \ sqrt {y}} × \ frac {\ sqrt {x} - \ sqrt {y}} {\ sqrt {x} - \ sqrt {y}} \ \ \, \\ (a + b) × \ frac {\ sqrt {x} - \ sqrt {y}} {x - y}
Expanda el numerador para obtener
\ frac {a \ sqrt {x} -a \ sqrt {y} + b \ sqrt {x} - b \ sqrt {y}} {x - y}
Esta expresión se vuelve menos complicada cuando sustituye enteros por algunas o todas las variables.
Ejemplo:
Racionalizar el denominador de la fracción
\ frac {3} {1 - \ sqrt {y}}
El conjugado del denominador es 1 - (−√y) = 1+ √y. Multiplica el numerador y el denominador por esta expresión y simplifica:
\ frac {3 × (1 + \ sqrt {y})} {1 - y} \\ \, \\ \ frac {3 + 3 \ sqrt {y}} {1 - y}
Racionalización de raíces cúbicas
Cuando tienes una raíz cúbica en el denominador, tienes que multiplicar el numerador y el denominador por el raíz cúbica del cuadrado del número bajo el signo del radical para deshacerse del signo del radical en el denominador. En general, si tiene una fracción en la formaa / 3√X, multiplica arriba y abajo por 3√X2.
Ejemplo:
Racionalizar el denominador:
\ frac {7} {\ sqrt [3] {x}}
Multiplica el numerador y el denominador por 3√X2 Llegar
\ frac {7 × \ sqrt [3] {x ^ 2}} {\ sqrt [3] {x} × \ sqrt [3] {x ^ 2}} = \ frac {7 × \ sqrt [3] {x ^ 2}} {\ sqrt [3] {x ^ 3}} \\ \, \\ \ frac {7 \ sqrt [3] {x ^ 2}} {x}