Una línea tangente a una curva toca la curva en un solo punto y su pendiente es igual a la pendiente de la curva en ese punto. Puede estimar la línea tangente utilizando una especie de método de adivinar y verificar, pero la forma más sencilla de encontrarla es a través del cálculo. La derivada de una función te da su pendiente en cualquier punto, entonces al tomar la derivada de la función que describe su curva, puede encontrar la pendiente de la recta tangente y luego resolver la otra constante para obtener su respuesta.
Escribe la función de la curva cuya línea tangente necesitas encontrar. Determina en qué punto quieres tomar la recta tangente (por ejemplo, x = 1).
Toma la derivada de la función usando las reglas de la derivada. Hay demasiados para resumir aquí; puede encontrar una lista de las reglas de derivación en la sección Recursos, sin embargo, en caso de que necesite un repaso:
Ejemplo: si la función es f (x) = 6x ^ 3 + 10x ^ 2 - 2x + 12, la derivada sería la siguiente:
f '(x) = 18x ^ 2 + 20x - 2
Tenga en cuenta que representamos la derivada de la función original agregando la 'marca, de modo que f' (x) es la derivada de f (x).
Inserte el valor de x para el que necesita la recta tangente en f '(x) y calcule cuál será f' (x) en ese punto.
Ejemplo: si f '(x) es 18x ^ 2 + 20x - 2 y necesita la derivada en el punto donde x = 0, entonces debe reemplazar 0 en esta ecuación en lugar de x para obtener lo siguiente:
f '(0) = 18 (0) ^ 2 + 20 (0) - 2
entonces f '(0) = -2.
Escribe una ecuación de la forma y = mx + b. Esta será tu línea tangente. m es la pendiente de su recta tangente y es igual a su resultado del paso 3. Sin embargo, todavía no conoce b y tendrá que resolverlo. Continuando con el ejemplo, su ecuación inicial basada en el paso 3 sería y = -2x + b.
Reemplaza el valor de x que usaste para encontrar la pendiente de la recta tangente nuevamente en tu ecuación original, f (x). De esta manera, puedes determinar el valor y de tu ecuación original en este punto, luego usarlo para resolver b en tu ecuación de recta tangente.
Ejemplo: si x es 0 y f (x) = 6x ^ 3 + 10x ^ 2 - 2x + 12, entonces f (0) = 6 (0) ^ 3 + 10 (0) ^ 2 - 2 (0) + 12. Todos los términos de esta ecuación van a 0 excepto el último, por lo que f (0) = 12.
Sustituye el resultado del paso 5 por y en tu ecuación de recta tangente, luego sustituye el valor de x que usaste en el paso 5 por x en tu ecuación de recta tangente y resuelve para b.
Ejemplo: sabe por un paso anterior que y = -2x + b. Si y = 12 cuando x = 0, entonces 12 = -2 (0) + b. El único valor posible para b que dará un resultado válido es 12, por lo tanto b = 12.
Escribe la ecuación de la recta tangente, usando los valores myb que has encontrado.
Ejemplo: sabes que m = -2 y b = 12, entonces y = -2x + 12.
Cosas que necesitará
- Lápiz
- Papel
- Calculadora