Si ves las expresiones 32 y 53, puede anunciar con una floritura que estos significan "tres al cuadrado" y "cinco al cubo", y poder buscar números equivalentes sin exponentes, los números representados por los superíndices arriba a la derecha. Estos números en este caso son 9 y 125.
Pero, ¿y si, en lugar de, digamos, una función exponencial simple como y = x 3, en su lugar, debes resolver una ecuación como y = 3X. Aquí x, la variable dependiente, aparece como exponente. ¿Hay alguna manera de bajar esa variable de su posición privilegiada para manejarla matemáticamente más fácilmente?
De hecho, la hay, y la respuesta está en el complemento natural de exponentes, que son cantidades divertidas y útiles conocidas como logaritmos.
¿Qué son los exponentes?
Un exponente, también llamado energía, es una forma comprimida de expresar multiplicaciones repetidas de un número por sí mismo. 45 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1,024.
- Cualquier número elevado a la potencia 1 mantiene el mismo valor; cualquier número con un exponente de 0 es igual a 1. Por ejemplo, 721 = 72; 720 = 1.
Los exponentes pueden ser negativos, produciendo la relación X−n= 1 / (xnorte). También se pueden expresar como fracciones, p. Ej., 2(5/3). Si se expresa como fracciones, tanto el numerador como el denominador deben ser números enteros.
¿Qué son los logaritmos?
Los logaritmos, o "logaritmos", se pueden considerar como exponentes expresados como algo diferente a una potencia. Eso probablemente no ayude mucho, por lo que quizás uno o dos ejemplos lo hagan.
En la expresion 103 = 1,000, el número 10 es el base, y se eleva a la tercera potencia (o el poder de Tres). Puede expresar esto como "la base de 10 elevada a la tercera potencia es igual a 1.000".
Un ejemplo de logaritmo es Iniciar sesión10(1,000) = 3. Tenga en cuenta que los números y sus relaciones entre sí son los mismos que en el ejemplo anterior, pero se han movido. En palabras, esto significa que "la base logarítmica 10 de 1.000 es igual a 3."
La cantidad de la derecha es la potencia a la que debe elevarse la base de 10 para igualar la argumento, o entrada del logaritmo, el valor entre paréntesis (en este caso 1000). Este valor tiene que ser positivo, porque la base, que puede ser un número distinto de 10, pero se supone que es 10 cuando se omite, por ejemplo, "log 4", también es siempre positiva.
Reglas de logaritmos útiles
Entonces, ¿cómo puede trabajar fácilmente entre registros y exponentes? Algunas reglas sobre el comportamiento de los registros pueden ayudarlo a comenzar con los problemas de exponentes.
log_ {b} (xy) = log_ {b} {x} + log_ {b} y log_ {b} (\ dfrac {x} {y}) = log_ {b} {x} \ text {-} log_ { b} y log_ {b} (x ^ A) = A⋅log_ {b} (x) log_ {b} (\ dfrac {1} {y}) = −log_ {b} (y)
Resolver para un exponente
Con la información anterior, está listo para intentar resolver un exponente en una ecuación.
Ejemplo: si 50 = 4X, que es x?
Si lleva el registro a la base 10 de cada lado y omite la identificación explícita de la base, esto se convierte en log 50 = log 4X. Del cuadro de arriba, sabe que el registro 4X = x log 4. Esto te deja con
log 50 = x log 4, o x = (log 50) / (log 4).
Usando su calculadora o dispositivo electrónico de elección, encuentra que la solución es (1.689 / 0.602) = 2.82.
Resolver ecuaciones exponenciales con e
Se aplican las mismas reglas cuando la base es mi, la llamada logaritmo natural, que tiene un valor de aproximadamente 2,7183. También debe tener un botón para esto en su calculadora. Este valor también tiene su propia notación: logmix se escribe simplemente "ln x".
- La función y = miX i, con e no una variable sino una constante con este valor, es la única función con una pendiente igual a su propia altura para todo x e y.
- Como registro1010X = x, ln eX = x para todo x.
Ejemplo: Resuelve la ecuación 16 = e2,7 veces.
Como arriba, ln 16 = ln e2,7 veces = 2,7x.
ln 16 = 2.77 = 2.7x, entonces x = 2/77 / 2.7 = 1.03.