Τι κάνει μια σχέση μια λειτουργία;

Οι μαθηματικές λειτουργίες είναι ισχυρά εργαλεία για τις επιχειρήσεις, τη μηχανική και τις επιστήμες, επειδή μπορούν να λειτουργήσουν ως μικροσκοπικά μοντέλα πραγματικών φαινομένων. Για να κατανοήσετε τις λειτουργίες και τις σχέσεις, θα πρέπει να ανακαλύψετε λίγο έννοιες όπως σύνολα, ταξινομημένα ζεύγη και σχέσεις. Η συνάρτηση είναι ένα ειδικό είδος σχέσης που έχει μόνο μίαετιμή για ένα δεδομένοΧαξία. Υπάρχουν και άλλα είδη σχέσεων που μοιάζουν με λειτουργίες αλλά δεν πληρούν τον αυστηρό ορισμό μιας.

TL; DR (Πάρα πολύ καιρό; Δεν διαβάστηκε)

Η σχέση είναι ένα σύνολο αριθμών οργανωμένων σε ζεύγη. Η συνάρτηση είναι ένα ειδικό είδος σχέσης που έχει μόνο μίαετιμή για ένα δεδομένοΧαξία.

Για να περιγράψετε σχέσεις και λειτουργίες, βοηθάει πρώτα να συζητήσετε σύνολα και ταξινομημένα ζεύγη. Εν συντομία, ένα σύνολο αριθμών είναι μια συλλογή αυτών, συνήθως περιέχεται σε σγουρά τιράντες, όπως {15,1, 2/3} ή {0, .22}. Συνήθως, ορίζετε ένα σύνολο με έναν κανόνα, όπως όλοι οι ζυγοί αριθμοί μεταξύ 2 και 10, συμπεριλαμβανομένων: {2,4,6,8,10}.

Ένα σύνολο μπορεί να έχει οποιονδήποτε αριθμό στοιχείων ή καθόλου, δηλαδή το μηδενικό σύνολο {}. Ένα ταξινομημένο ζεύγος είναι μια ομάδα δύο αριθμών που περικλείονται σε παρενθέσεις, όπως (0,1) και (45, −2). Για ευκολία, μπορείτε να καλέσετε την πρώτη τιμή σε ένα ζεύγος με παραγγελίαΧτιμή, και το δεύτερο τοεαξία. Μια σχέση οργανώνει τα ταξινομημένα ζεύγη σε ένα σύνολο. Για παράδειγμα, το σετ {(1,0), (1,5), (2,10), (2,15)} είναι σχέση. Μπορείτε να σχεδιάσετε τοΧκαιετιμές μιας σχέσης σε ένα γράφημα χρησιμοποιώντας τοΧκαιεάξονες.

Μια συνάρτηση είναι μια σχέση στην οποία οποιαδήποτε δεδομένηΧη τιμή έχει μόνο ένα αντίστοιχοεαξία. Ίσως να πιστεύετε ότι με τα ταξινομημένα ζευγάρια, το καθέναΧέχει μόνο έναεαξία πάντως. Ωστόσο, στο παράδειγμα μιας σχέσης που δίνεται παραπάνω, σημειώστε ότι τοΧοι τιμές 1 και 2 έχουν δύο αντίστοιχεςετιμές, 0 και 5, και 10 και 15, αντίστοιχα. Αυτή η σχέση δεν είναι συνάρτηση. Ο κανόνας δίνει στη σχέση συνάρτησης μια οριστικότητα που διαφορετικά δεν υπάρχει, σε όρουςΧαξίες. Θα μπορούσες να ρωτήσεις, πότεΧείναι 1, τι είναιεαξία? Για την παραπάνω σχέση, η ερώτηση δεν έχει συγκεκριμένη απάντηση. θα μπορούσε να είναι 0, 5 ή και τα δύο.

Τώρα εξετάστε ένα παράδειγμα μιας σχέσης που είναι μια πραγματική συνάρτηση: {(0,1), (1,5), (2, 4), (3, 6)}. οΧοι τιμές δεν επαναλαμβάνονται πουθενά. Ως άλλο παράδειγμα, ρίξτε μια ματιά στα {(−1,0), (0,5), (1,5), (2,10), (3,10)}. Μερικοίεοι τιμές επαναλαμβάνονται, αλλά αυτό δεν παραβιάζει τον κανόνα. Μπορείτε ακόμα να το πείτε αυτό όταν η τιμή τουΧείναι 0,εείναι σίγουρα 5.

Μπορείτε να δείτε εάν μια σχέση είναι μια συνάρτηση σχεδιάζοντας τους αριθμούς σε ένα γράφημα και εφαρμόζοντας τη δοκιμή κάθετης γραμμής. Εάν δεν τέμνει κάθετη γραμμή που διέρχεται από το γράφημα σε περισσότερα από ένα σημεία, η σχέση είναι συνάρτηση.

Η σύνταξη ενός συνόλου ζευγαρωμένων ζευγαριών ως συνάρτηση αποτελεί ένα εύκολο παράδειγμα, αλλά γρήγορα γίνεται κουραστικό όταν έχετε περισσότερους από μερικούς αριθμούς. Για την αντιμετώπιση αυτού του προβλήματος, οι μαθηματικοί γράφουν συναρτήσεις με όρους εξισώσεων, όπως

Χρησιμοποιώντας αυτήν τη συμπαγή εξίσωση, μπορείτε να δημιουργήσετε όσα ζεύγη ταξινομήθηκαν όπως θέλετε: Συνδέστε διαφορετικές τιμές γιαΧ, κάντε τα μαθηματικά και βγείτε έξωεαξίες.

Πολλές λειτουργίες χρησιμεύουν ως μαθηματικά μοντέλα, επιτρέποντας στους ανθρώπους να κατανοήσουν λεπτομέρειες φαινομένων που διαφορετικά θα παραμείνουν μυστηριώδη. Για να πάρουμε ένα απλό παράδειγμα, η εξίσωση απόστασης για ένα αντικείμενο που πέφτει είναι

όπουτείναι χρόνος σε δευτερόλεπτα, καισολείναι η επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας. Συνδέστε 9,8 για βαρύτητα γης σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο τετράγωνο και μπορείτε να βρείτε την απόσταση ενός αντικειμένου που πέφτει οποιαδήποτε στιγμή. Σημειώστε ότι, για όλη τη χρησιμότητά τους, τα μοντέλα έχουν περιορισμούς. Το παράδειγμα εξίσωσης λειτουργεί καλά για να ρίξει μια χαλύβδινη σφαίρα, αλλά όχι ένα φτερό, επειδή ο αέρας επιβραδύνει το φτερό προς τα κάτω.