Σε μια γεωμετρική ακολουθία, κάθε όρος ισούται με τον προηγούμενο όρο φορές έναν σταθερό, μη μηδενικό πολλαπλασιαστή που ονομάζεται κοινός παράγοντας. Οι γεωμετρικές ακολουθίες μπορεί να έχουν έναν καθορισμένο αριθμό όρων ή μπορεί να είναι άπειρες. Σε κάθε περίπτωση, οι όροι μιας γεωμετρικής ακολουθίας μπορούν γρήγορα να γίνουν πολύ μεγάλοι, πολύ αρνητικοί ή πολύ κοντά στο μηδέν. Σε σύγκριση με τις αριθμητικές ακολουθίες, οι όροι αλλάζουν πολύ πιο γρήγορα, αλλά ενώ είναι άπειροι αριθμητικοί Οι ακολουθίες αυξάνονται ή μειώνονται σταθερά, οι γεωμετρικές ακολουθίες μπορούν να πλησιάσουν το μηδέν, ανάλογα με το κοινό παράγοντας.
TL; DR (Πάρα πολύ καιρό; Δεν διαβάστηκε)
Μια γεωμετρική ακολουθία είναι μια ταξινομημένη λίστα αριθμών στους οποίους κάθε όρος είναι το προϊόν του προηγούμενου όρου και ένας σταθερός, μη μηδενικός πολλαπλασιαστής που ονομάζεται κοινός παράγοντας. Κάθε όρος μιας γεωμετρικής ακολουθίας είναι ο γεωμετρικός μέσος όρος των όρων που προηγούνται και ακολουθούν. Οι άπειρες γεωμετρικές ακολουθίες με κοινό συντελεστή μεταξύ +1 και −1 πλησιάζουν το όριο του μηδέν ως όρους προστίθενται ενώ ακολουθίες με κοινό συντελεστή μεγαλύτερο από +1 ή μικρότερο από than1 πηγαίνουν στο συν ή πλην άπειρο.
Πώς λειτουργούν οι γεωμετρικές ακολουθίες
Μια γεωμετρική ακολουθία ορίζεται από τον αρχικό αριθμό τηςένα, ο κοινός παράγονταςρκαι τον αριθμό των όρωνμικρό. Η αντίστοιχη γενική μορφή μιας γεωμετρικής ακολουθίας είναι:
a, ar, ar ^ 2, ar ^ 3,... , ar ^ {S-1}
Ο γενικός τύπος για τον όρονμιας γεωμετρικής ακολουθίας (δηλαδή, οποιοσδήποτε όρος εντός αυτής της ακολουθίας) είναι:
a_n = ar ^ {n-1}
Ο αναδρομικός τύπος, ο οποίος ορίζει έναν όρο σε σχέση με τον προηγούμενο όρο, είναι:
a_n = ra_ {n-1}
Ένα παράδειγμα γεωμετρικής ακολουθίας με αρχικό αριθμό 3, κοινούς συντελεστές 2 και οκτώ όρους είναι 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. Υπολογίζοντας τον τελευταίο όρο χρησιμοποιώντας τη γενική φόρμα που αναφέρεται παραπάνω, ο όρος είναι:
a_8 = 3 × 2 ^ {8-1} = 3 × 2 ^ 7 = 3 × 128 = 384
Χρησιμοποιώντας τον γενικό τύπο για τον όρο 4:
a_4 = 3 × 2 ^ {4-1} = 3 × 2 ^ 3 = 3 × 8 = 24
Εάν θέλετε να χρησιμοποιήσετε τον αναδρομικό τύπο για τον όρο 5, τότε ο όρος 4 = 24 και a5 ισούται με:
a_5 = 2 × 24 = 48
Ιδιότητες γεωμετρικής ακολουθίας
Οι γεωμετρικές ακολουθίες έχουν ειδικές ιδιότητες όσον αφορά τον γεωμετρικό μέσο. Ο γεωμετρικός μέσος όρος των δύο αριθμών είναι η τετραγωνική ρίζα του προϊόντος τους. Για παράδειγμα, ο γεωμετρικός μέσος όρος των 5 και 20 είναι 10 επειδή το προϊόν 5 × 20 = 100 και η τετραγωνική ρίζα του 100 είναι 10.
Στις γεωμετρικές ακολουθίες, κάθε όρος είναι ο γεωμετρικός μέσος όρος του πριν και ο όρος μετά από αυτόν. Για παράδειγμα, στην ακολουθία 3, 6, 12... παραπάνω, το 6 είναι ο γεωμετρικός μέσος όρος των 3 και 12, το 12 είναι ο γεωμετρικός μέσος όρος των 6 και 24, και το 24 είναι ο γεωμετρικός μέσος όρος των 12 και 48.
Άλλες ιδιότητες γεωμετρικών αλληλουχιών εξαρτώνται από τον κοινό παράγοντα. Εάν ο κοινός παράγονταςρείναι μεγαλύτερο από 1, οι άπειρες γεωμετρικές ακολουθίες θα πλησιάσουν το θετικό άπειρο. Ανρείναι μεταξύ 0 και 1, οι ακολουθίες θα πλησιάσουν το μηδέν. Ανρείναι μεταξύ μηδέν και −1, οι ακολουθίες θα πλησιάσουν το μηδέν, αλλά οι όροι θα εναλλάσσονται μεταξύ θετικών και αρνητικών τιμών. Ανρείναι μικρότερη από −1, οι όροι θα τείνουν προς θετικό και αρνητικό άπειρο καθώς εναλλάσσονται μεταξύ θετικών και αρνητικών τιμών.
Οι γεωμετρικές ακολουθίες και οι ιδιότητές τους είναι ιδιαίτερα χρήσιμες σε επιστημονικά και μαθηματικά μοντέλα πραγματικών διαδικασιών. Η χρήση συγκεκριμένων ακολουθιών μπορεί να βοηθήσει στη μελέτη πληθυσμών που αυξάνονται με σταθερό ρυθμό για δεδομένες χρονικές περιόδους ή επενδύσεων που κερδίζουν τόκους. Οι γενικοί και αναδρομικοί τύποι καθιστούν δυνατή την πρόβλεψη ακριβών τιμών στο μέλλον με βάση το σημείο εκκίνησης και τον κοινό παράγοντα.
