Μόλις αρχίσετε να επιλύετε αλγεβρικές εξισώσεις που περιλαμβάνουν πολυώνυμα, η ικανότητα αναγνώρισης ειδικών, εύκολα συντελεστών μορφών πολυωνύμων γίνεται πολύ χρήσιμη. Ένα από τα πιο χρήσιμα πολυώνυμα "εύκολο παράγοντα" για να εντοπίσετε είναι το τέλειο τετράγωνο ή το τριανομικό που προκύπτει από το τετράγωνο ενός διωνύμου. Μόλις εντοπίσετε ένα τέλειο τετράγωνο, το να το συμπεριλάβετε στα επιμέρους συστατικά του είναι συχνά ζωτικό μέρος της διαδικασίας επίλυσης προβλημάτων.
Προτού μπορέσετε να συνθέσετε ένα τέλειο τετράγωνο trinomial, πρέπει να μάθετε να το αναγνωρίζετε. Ένα τέλειο τετράγωνο μπορεί να πάρει οποιαδήποτε από τις δύο μορφές
a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 \ text {, το οποίο είναι το προϊόν} (a + b) (a + b) = (a + b) ^ 2 \\ a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 \ κείμενο {, που είναι το προϊόν του} (a - b) (a - b) = (a - b) ^ 2
Ελέγξτε τον πρώτο και τρίτο όρο του trinomial. Είναι και τα δύο τετράγωνα; Εάν ναι, μάθετε τι είναι τα τετράγωνα. Για παράδειγμα, στο δεύτερο παράδειγμα "πραγματικός κόσμος" που δίνεται παραπάνω:
y ^ 2 - 2y + 1
ο όροςε2 είναι προφανώς η πλατεία τουγ.Ο όρος 1 είναι, ίσως λιγότερο προφανώς, το τετράγωνο του 1, επειδή 12 = 1.
Πολλαπλασιάστε τις ρίζες του πρώτου και του τρίτου όρου μαζί. Για να συνεχίσω το παράδειγμα, αυτό είναιεκαι 1, που σας δίνειε × 1 = 1εή απλάε.
Στη συνέχεια, πολλαπλασιάστε το προϊόν σας με 2. Συνεχίζοντας το παράδειγμα, έχετε 2γ.
Τέλος, συγκρίνετε το αποτέλεσμα του τελευταίου βήματος με τον μεσαίο όρο του πολυωνύμου. Ταιριάζουν; Στο πολυώνυμοε2 – 2ε+ 1, το κάνουν. (Το σημείο είναι άσχετο. θα ήταν επίσης ένας αγώνας αν η μεσοπρόθεσμη περίοδος ήταν +2ε.)
Επειδή η απάντηση στο Βήμα 1 ήταν "ναι" και το αποτέλεσμα σας από το Βήμα 2 ταιριάζει με τον μεσοπρόθεσμο όρο του πολυώνυμου, ξέρετε ότι ψάχνετε σε ένα τέλειο τετράγωνο trinomial.
Μόλις ξέρετε ότι κοιτάζετε ένα τέλειο τετράγωνο trinomial, η διαδικασία του factoring είναι αρκετά απλή.
Προσδιορίστε τις ρίζες, ή τους αριθμούς που τετραγωνίζονται, με τον πρώτο και τρίτο όρο του trinomial. Σκεφτείτε ένα άλλο από τα παραδείγματα trinomials που γνωρίζετε ήδη ότι είναι ένα τέλειο τετράγωνο:
x ^ 2 + 8x + 16
Προφανώς ο αριθμός που τετραγωνίζεται στον πρώτο όρο είναιΧ. Ο αριθμός που τετραγωνίζεται στον τρίτο όρο είναι 4, επειδή 42 = 16.
Σκεφτείτε τις φόρμουλες για τέλεια τετράγωνα trinomial. Ξέρετε ότι οι παράγοντες σας θα έχουν είτε τη μορφή (ένα + σι)(ένα + σιή τη φόρμα (ένα – σι)(ένα – σι), όπουένακαισιείναι οι αριθμοί που τετραγωνίζονται στον πρώτο και τρίτο όρο. Έτσι, μπορείτε να γράψετε τους παράγοντες σας έτσι, παραλείποντας τα σημάδια στη μέση κάθε όρου προς το παρόν:
(ένα \,? \, b) (a \,? \, b) = a ^ 2 \,? \, 2ab + b ^ 2
Για να συνεχίσετε το παράδειγμα αντικαθιστώντας τις ρίζες του τρέχοντος τριανομικού σας, έχετε:
(x \,? \, 4) (x \,? \, 4) = x ^ 2 + 8x + 16
Ελέγξτε τον μεσοπρόθεσμο του trinomial. Έχει θετικό ή αρνητικό σημάδι (ή, για να το θέσω με άλλο τρόπο, προστίθεται ή αφαιρείται); Εάν έχει θετικό σημάδι (ή προστίθεται), τότε και οι δύο παράγοντες του τρινωμίου έχουν ένα σύμβολο συν στη μέση. Εάν έχει αρνητικό σημάδι (ή αφαιρείται), και οι δύο παράγοντες έχουν αρνητικό σημάδι στη μέση.
Ο μεσαίος όρος του τρέχοντος παραδείγματος trinomial είναι 8Χ- είναι θετικό - οπότε έχετε πλέον συνειδητοποιήσει το τέλειο τετραγωνικό τετράγωνο:
(x + 4) (x + 4) = x ^ 2 + 8x + 16
Ελέγξτε την εργασία σας πολλαπλασιάζοντας τους δύο παράγοντες μαζί. Η εφαρμογή του FOIL ή η πρώτη, εξωτερική, εσωτερική, τελευταία μέθοδος σας δίνει:
x ^ 2 + 4x + 4x + 16
Η απλούστευση δίνει το αποτέλεσμαΧ2 + 8Χ+ 16, που ταιριάζει με το trinomial σας. Έτσι, οι παράγοντες είναι σωστοί.