Η άλγεβρα σηματοδοτεί το πρώτο πραγματικό εννοιολογικό άλμα που πρέπει να κάνουν οι μαθητές στον κόσμο των μαθηματικών, μαθαίνοντας να χειρίζονται μεταβλητές και να εργάζονται με εξισώσεις. Καθώς αρχίζετε να εργάζεστε με εξισώσεις, θα συναντήσετε μερικές κοινές προκλήσεις, όπως εκθέτες, κλάσματα και πολλές μεταβλητές. Όλα αυτά μπορούν να χρησιμοποιηθούν με τη βοήθεια μερικών βασικών στρατηγικών.
Η βασική στρατηγική για αλγεβρικές εξισώσεις
Η βασική στρατηγική για την επίλυση οποιασδήποτε αλγεβρικής εξίσωσης είναι πρώτα η απομόνωση του μεταβλητού όρου από τη μία πλευρά της εξίσωσης και, στη συνέχεια, εφαρμόστε αντίστροφες λειτουργίες, όπως απαιτείται, για να αφαιρέσετε τυχόν συντελεστές ή εκθέτες. Μια αντίστροφη λειτουργία "αναιρεί" μια άλλη λειτουργία. Για παράδειγμα, η διαίρεση "αναιρεί" τον πολλαπλασιασμό ενός συντελεστή και οι τετραγωνικές ρίζες "αναιρέσουν" την τετραγωνική λειτουργία ενός εκθέτη δεύτερης ισχύος.
Σημειώστε ότι εάν εφαρμόσετε μια λειτουργία στη μία πλευρά μιας εξίσωσης, πρέπει να εφαρμόσετε την ίδια λειτουργία στην άλλη πλευρά της εξίσωσης. Διατηρώντας αυτόν τον κανόνα, μπορείτε να αλλάξετε τον τρόπο σύνταξης των όρων μιας εξίσωσης χωρίς να αλλάξετε τη σχέση τους μεταξύ τους.
Επίλυση εξισώσεων με εκθέτες
Οι τύποι εξισώσεων με εκθέτες που θα συναντήσετε κατά τη διάρκεια της άλγεβρας ταξίδι σας θα μπορούσαν εύκολα να γεμίσουν ένα ολόκληρο βιβλίο. Προς το παρόν, εστιάστε στην εξάσκηση των πιο βασικών εξισωτικών εκθετών, όπου έχετε έναν μόνο μεταβλητό όρο με έναν εκθέτη. Για παράδειγμα:
y ^ 2 + 3 = 19
Αφαιρέστε το 3 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης, αφήνοντας τον μεταβλητό όρο απομονωμένο στη μία πλευρά:
y ^ 2 = 16
Αφαιρέστε τον εκθέτη μακριά από τη μεταβλητή εφαρμόζοντας μια ρίζα του ίδιου ευρετηρίου. Θυμηθείτε, πρέπει να το κάνετε και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Σε αυτήν την περίπτωση, αυτό σημαίνει ότι παίρνετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών:
\ sqrt {y ^ 2} = \ sqrt {16}
Το οποίο απλοποιεί:
y = 4
Επίλυση εξισώσεων με κλάσματα
Τι γίνεται αν η εξίσωση σας περιλαμβάνει ένα κλάσμα; Εξετάστε το παράδειγμα του
\ frac {3} {4} (x + 7) = 6
Εάν διανείμετε το κλάσμα 3/4 (Χ+ 7), τα πράγματα μπορούν να γίνουν γρήγορα ακατάστατα. Εδώ είναι μια πολύ απλούστερη στρατηγική.
Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με τον παρονομαστή του κλάσματος. Σε αυτήν την περίπτωση, αυτό σημαίνει πολλαπλασιασμός και των δύο πλευρών του κλάσματος με 4:
\ frac {3} {4} (x + 7) × 4 = 6 × 4
Απλοποιήστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό επιτυγχάνεται για:
3 (x + 7) = 24
Μπορείτε να απλοποιήσετε ξανά, με αποτέλεσμα:
3x + 21 = 24
Αφαιρέστε το 21 και από τις δύο πλευρές, απομονώνοντας τον μεταβλητό όρο στη μία πλευρά της εξίσωσης:
3x = 3
Τέλος, διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 3 για να ολοκληρώσετε την επίλυσηΧ:
x = 1
Επίλυση μιας εξίσωσης με δύο μεταβλητές
Εάν έχετεέναςεξίσωση με δύο μεταβλητές, πιθανότατα θα σας ζητηθεί να επιλύσετε μόνο μία από αυτές τις μεταβλητές. Σε αυτήν την περίπτωση ακολουθείτε την ίδια διαδικασία όπως θα χρησιμοποιούσατε για οποιαδήποτε αλγεβρική εξίσωση με μία μεταβλητή. Εξετάστε το παράδειγμα
5x + 4 = 2y
αν σας ζητηθεί να λύσετεΧ.
Αφαιρέστε το 3 από κάθε πλευρά της εξίσωσης, αφήνοντας τοΧόρος από μόνο του στη μία πλευρά του ίσου σημείου:
5x = 2y - 4
Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 5 για να αφαιρέσετε τον συντελεστή από τοΧόρος:
x = \ frac {2y - 4} {5}
Εάν δεν σας δοθούν άλλες πληροφορίες, μπορείτε να λάβετε τους υπολογισμούς.
Επίλυση δύο εξισώσεων με δύο μεταβλητές
Εάν σας δοθεί ένα σύστημα (ή ομάδα)δύοεξισώσεις που έχουν τις ίδιες δύο μεταβλητές σε αυτές, αυτό συνήθως σημαίνει ότι οι εξισώσεις σχετίζονται - και μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια τεχνική που ονομάζεται υποκατάσταση για να βρείτε τιμές και για τις δύο μεταβλητές. Εξετάστε την εξίσωση από το τελευταίο παράδειγμα, συν μια δεύτερη, σχετική εξίσωση που χρησιμοποιεί τις ίδιες μεταβλητές:
5x + 4 = 2y \\ x + 3y = 23
Επιλέξτε μία εξίσωση και επιλύστε αυτήν την εξίσωση για μία από τις μεταβλητές. Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιήστε ό, τι γνωρίζετε ήδη για την πρώτη εξίσωση από το προηγούμενο παράδειγμα, για το οποίο έχετε ήδη λύσειΧ:
x = \ frac {2y - 4} {5}
Αντικαταστήστε το αποτέλεσμα από το Βήμα 1 στην άλλη εξίσωση. Με άλλα λόγια, αντικαταστήστε την τιμή (2ε- 4) / 5 για τυχόν περιπτώσειςΧστην άλλη εξίσωση. Αυτό σας δίνει μια εξίσωση με μία μόνο μεταβλητή:
\ frac {2y - 4} {5} + 3y = 23
Απλοποιήστε την εξίσωση από το Βήμα 2 και επιλύστε την υπόλοιπη μεταβλητή, η οποία σε αυτήν την περίπτωση είναιγ.
Ξεκινήστε πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές με 5:
5 × \ bigg (\ frac {2y - 4} {5} + 3y \ bigg) = 5 × 23
Αυτό απλοποιεί:
2y - 4 + 15y = 115
Αφού συνδυάσετε όμοιους όρους, αυτό απλοποιεί περαιτέρω τα εξής:
17y = 119
Και τέλος, αφού διαιρέσετε και τις δύο πλευρές με 17, έχετε:
y = 7
Αντικαταστήστε την τιμή από το Βήμα 3 στην εξίσωση από το Βήμα 1. Αυτό σας δίνει:
x = \ frac {(2 × 7) - 4} {5}
Αυτό απλοποιεί την αποκάλυψη της τιμής τουΧ:
x = 2
Έτσι, η λύση για αυτό το σύστημα εξισώσεων είναιΧ= 2 καιε = 7.