Η εννοια τουιδιοτιμέςείναι σκοτεινό, αλλά έρχεται πολύ χρήσιμο για μαθηματικούς και φυσικούς επιστήμονες που αντιμετωπίζουν ορισμένα ενδιαφέροντα προβλήματα.
Για να κατανοήσετε μια ιδιοτιμή, φανταστείτε να έχετε μια συνάρτηση (π.χ.ε = Χ2 + 6Χ, ήε= log 4Χ) που θα μπορούσατε να περάσετε από κάποια διαδικασία έτσι ώστε το αποτέλεσμα να είναι το ίδιο με τον πολλαπλασιασμό ολόκληρης της λειτουργίας με μια σταθερή τιμή. Μια τέτοια συνάρτηση θα μπορούσε να χαρακτηριστεί ωςιδιολειτουργία, και η σταθερά θα ήταν μια ιδιοτιμή.
- Το "Eigen" είναι γερμανικό για το "ίδιο."
Για να κατανοήσετε καλύτερα τις ιδιοτιμές και τις ιδιοτιμές, και να είστε σε θέση να υπολογίσετε τις ιδιοτιμές, χρειάζεστε μια βασική κατανόηση των πινάκων. Αυτά τα μαθηματικά κόλπα χρησιμοποιούνται για να προσδιορίσουν, για παράδειγμα, τη σειρά δεσμών του ΝΟ2 (διοξείδιο του αζώτου) και άλλα μόρια, διότι η συμπεριφορά των ηλεκτρονίων στα άτομα καθορίζεται από κυματοσυνδέσεις που χαρακτηρίζονται ως ιδιογενείς λειτουργίες.
Τι είναι το Matrix;
Ένας πίνακας είναι ένας πίνακας αριθμών που ταξινομούνται σε σειρές και στήλες, οι οποίοι μπορεί να αριθμούνται από 1 έωςν. Οι διαστάσεις των πινάκων δίδονται κατά σειρά ανά στήλη. Για παράδειγμα, το ακόλουθο είναι ένας πίνακας 2 προς 3:
\ έναρξη {bmatrix} 3 & 0 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \\ \ end {bmatrix}
Οι πίνακες μπορούν να προστεθούν μαζί αν έχουν το ίδιο μέγεθος (δηλαδή, έχουν τον ίδιο αριθμό σειρών και τον ίδιο αριθμό στηλών). Μπορούν επίσης να πολλαπλασιαστούν μαζί με μια σταδιακή διαδικασία υπό τις ίδιες συνθήκες. Επιπλέον, κάθε μήτρα μπορεί να πολλαπλασιαστεί με έναν φορέα, ο οποίος είναι 1-με-νήν-1-μήτρα; αυτό περιλαμβάνει άλλους φορείς.
Τι είναι μια εξίσωση Eigenvalue;
Ας πούμε ότι έχετε έναν-με-νή "τετράγωνο" πίνακαΕΝΑ, μη μηδενικόν-από-1 διάνυσμαβ, και μια βαθμίδαλ, έτσι ώστε να ικανοποιείται η ακόλουθη εξίσωση:
\ bold {Av} = λ \ έντονα {v}
Οποιαδήποτε τιμήλγια την οποία αυτή η εξίσωση έχει μια λύση είναι γνωστή ως ιδιοτιμή της μήτραςΕΝΑ.
Μην αφήνετε το μυαλό σας να αντιμετωπίζει τις παραπάνω εκφράσεις ως προϊόν.ΕΝΑείναι έναχειριστήςσε έναν γραμμικό μετασχηματισμό του διανύσματοςβ, αυτός ο υπολογισμός είναι δυνατός μόνο επειδήΕΝΑκαιβκαι οι δύο έχουννσειρές.
Γιατί να χρησιμοποιήσετε τις λειτουργίες Eigenvalue;
Η παραγωγή είναι περίπλοκη, αλλά στην ατομική χημεία, ο χειριστής Hamiltonian "H-bar" χρησιμοποιείται για την έκφραση της κινητικής και δυνητικής ενέργειας ενός συστήματος:
\ hat H = - \ dfrac {ℏ} {2m} ∇ ^ 2 + \ καπέλο V (x, y, z)
Αυτό χρησιμοποιείται για να γράψει μια μορφή τουΕξίσωση κυματοσύνθεσης Schrodingerστην κβαντική μηχανική:
\ καπέλο Hψ (x, y, z) = Eψ (x, y, z)
Εδώμιαντιπροσωπεύει τις ιδιοτιμές που ικανοποιούν αυτήν την εξίσωση.
Τρόποι εύρεσης των ιδιοτιμών μιας μήτρας
Από την εξίσωση Av = λv, παίρνετεΕΝΑ β − λβ=0. Αυτό οδηγεί σε:
\ bold {A v} - λ (\ έντονα {I v}) = 0
ΟπουΕγώείναι ο πίνακας ταυτότητας 2 προς 2 με σειρές [λ0] και [0λ], που οδηγεί στο 1 όταν πολλαπλασιάζεται με τη βαθμίδαλ. Αυτό το αποτέλεσμα αποφέρει:
(\ bold {A} - λ \ bold {I}) \ bold {v} = 0
Εάνβείναι μη μηδέν, έχει μόνο μια λύση εάν η απόλυτη τιμή τουΕΝΑ− λΕγώ, ή |ΕΝΑ − λΕγώ|, είναι μηδέν. Εάν τα κάνετε με το χέρι, περιλαμβάνει την επίλυση μιας τετραγωνικής εξίσωσης και μπορεί να είναι κουραστική.
Για να πολλαπλασιάσετε δύο πίνακες μαζί, για κάθε σημείο στη μήτρα προϊόντος, πολλαπλασιάζετε τα αντίστοιχα σημεία μαζί και προσθέστε το στα προϊόντα της υπόλοιπης γραμμής και των στοιχείων στηλών στη σειρά και στη στήλη στην οποία το νέο σημείο ανήκει.
Πολλαπλασιάζοντας δύο πίνακες 2 προς 2ΕΝΑκαισιμαζί, εάν η πρώτη σειρά τουΕΝΑείναι [1 3] και η πρώτη στήλη τουσιείναι [2 5], ο αριθμός στην πρώτη στήλη και σειρά του νέου πίνακα θα ήταν [(1 × 2) + (3 × 5)] = 15 και αντίστοιχα για τα άλλα τρία σημεία.
Υπολογίστε τις ιδιοτιμές στο Διαδίκτυο
Στους πόρους, θα βρείτε ένα εργαλείο υπολογισμού μήτρας που σας επιτρέπει να βρείτε ιδιοτιμές και πολλά άλλα για μια μήτρα σχεδόν οποιουδήποτε κατανοητού μεγέθους.