Μπορείτε να δείτε τις αντίστροφες σχέσεις στα μαθηματικά με τρεις τρόπους. Ο πρώτος τρόπος είναι να εξετάσουμε τις λειτουργίες που ακυρώνουν η μία την άλλη Η προσθήκη και η αφαίρεση είναι οι δύο πιο προφανείς λειτουργίες που συμπεριφέρονται με αυτόν τον τρόπο.
Ένας δεύτερος τρόπος για να δείτε τις αντίστροφες σχέσεις είναι να εξετάσετε τον τύπο των καμπυλών που παράγουν όταν γράφετε σχέσεις μεταξύ δύο μεταβλητών. Εάν η σχέση μεταξύ των μεταβλητών είναι άμεση, τότε η εξαρτημένη μεταβλητή αυξάνεται όταν αυξάνετε την ανεξάρτητη μεταβλητή και το γράφημα καμπυλώνει προς την αύξηση των τιμών και των δύο μεταβλητών. Ωστόσο, εάν η σχέση είναι αντίστροφη, η εξαρτημένη μεταβλητή γίνεται μικρότερη όταν αυξάνεται η ανεξάρτητη και το γράφημα καμπυλώνεται προς μικρότερες τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής.
Ορισμένα ζεύγη συναρτήσεων παρέχουν ένα τρίτο παράδειγμα αντίστροφων σχέσεων. Όταν γράφετε συναρτήσεις που είναι το αντίστροφο μεταξύ τους σε έναν άξονα x-y, οι καμπύλες εμφανίζονται ως καθρέφτες μεταξύ τους σε σχέση με τη γραμμή x = y.
Αντίστροφες μαθηματικές λειτουργίες
Η προσθήκη είναι η πιο βασική των αριθμητικών πράξεων και έρχεται με ένα κακό δίδυμο - αφαίρεση - που μπορεί να αναιρέσει αυτό που κάνει. Ας πούμε ότι ξεκινάτε με 5 και προσθέτετε 7. Παίρνετε 12, αλλά αν αφαιρέσετε το 7, θα μείνετε με το 5 με το οποίο ξεκινήσατε. Το αντίστροφο της προσθήκης είναι αφαίρεση και το καθαρό αποτέλεσμα της προσθήκης και αφαίρεσης του ίδιου αριθμού ισοδυναμεί με την προσθήκη 0.
Υπάρχει παρόμοια αντίστροφη σχέση μεταξύ πολλαπλασιασμού και διαίρεσης. Το καθαρό αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης ενός αριθμού με τον ίδιο παράγοντα είναι ο πολλαπλασιασμός του αριθμού με το 1, γεγονός που τον αφήνει αμετάβλητο. Αυτή η αντίστροφη σχέση είναι χρήσιμη κατά την απλοποίηση σύνθετων αλγεβρικών εκφράσεων και επίλυσης εξισώσεων.
Ένα άλλο ζεύγος αντίστροφων μαθηματικών πράξεων αυξάνει έναν αριθμό σε έναν εκθέτη "ν"και παίρνοντας τονη ρίζα του αριθμού. Η τετραγωνική σχέση είναι η ευκολότερη. Εάν τετράγωνο 2, παίρνετε 4, και αν πάρετε την τετραγωνική ρίζα του 4, παίρνετε 2. Αυτή η αντίστροφη σχέση είναι επίσης χρήσιμο να θυμάστε κατά την επίλυση σύνθετων εξισώσεων.
Οι λειτουργίες μπορούν να είναι αντίστροφες ή άμεσες
Η συνάρτηση είναι ένας κανόνας που παράγει ένα και μόνο ένα αποτέλεσμα για κάθε αριθμό που εισάγετε. Το σύνολο των αριθμών που εισάγετε ονομάζεται τομέας της συνάρτησης και το σύνολο των αποτελεσμάτων που παράγει η συνάρτηση είναι το εύρος. Εάν η συνάρτηση είναι άμεση, μια ακολουθία τομέων θετικών αριθμών που μεγαλώνει παράγει μια σειρά ακολουθιών αριθμών που επίσης μεγαλώνουν.
f (x) = 2x + 2, f (x) = x ^ 2 \ κείμενο {και} f (x) = \ sqrt {x}
είναι όλες οι άμεσες λειτουργίες.
Μια αντίστροφη συνάρτηση συμπεριφέρεται με διαφορετικό τρόπο. Όταν οι αριθμοί στον τομέα μεγαλώνουν, οι αριθμοί στο εύρος γίνονται μικρότεροι.
f (x) = \ frac {1} {x}
είναι η απλούστερη μορφή μιας αντίστροφης συνάρτησης. Καθώς το x μεγαλώνει, f (Χ) πλησιάζει και πλησιάζει το 0. Βασικά, οποιαδήποτε συνάρτηση με τη μεταβλητή εισόδου στον παρονομαστή ενός κλάσματος και μόνο στον παρονομαστή, είναι μια αντίστροφη συνάρτηση. Άλλα παραδείγματα περιλαμβάνουν
f (x) = \ frac {n} {x}
όπουνείναι οποιοσδήποτε αριθμός,
f (x) = \ frac {n} {\ sqrt {x}}
και
f (x) = \ frac {n} {x + w}
όπουβείναι οποιοσδήποτε ακέραιος.
Δύο λειτουργίες μπορούν να έχουν αντίστροφη σχέση μεταξύ τους
Ένα τρίτο παράδειγμα μιας αντίστροφης σχέσης στα μαθηματικά είναι ένα ζεύγος συναρτήσεων που είναι αντίστροφα μεταξύ τους. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι εισάγετε τους αριθμούς 2, 3, 4 και 5 στη συνάρτηση
y = 2x + 1
Παίρνετε αυτούς τους πόντους: (2,5), (3,7), (4,9) και (5,11). Αυτή είναι μια ευθεία γραμμή με κλίση 2 καιε- Ένδειξη 1
Τώρα αντιστρέψτε τους αριθμούς στις αγκύλες για να δημιουργήσετε μια νέα συνάρτηση: (5,2), (7,3), (9,4) και (11,5). Το εύρος της αρχικής συνάρτησης γίνεται ο τομέας της νέας και ο τομέας της αρχικής συνάρτησης γίνεται το εύρος της νέας. Είναι επίσης μια γραμμή, αλλά η κλίση του είναι 1/2 και είναιε-η παρεμβολή είναι −1/2. Χρησιμοποιώντας το
y = mx + b
μορφή γραμμής, βρίσκεις την εξίσωση της γραμμής
y = \ frac {1} {2} (x - 1)
Αυτό είναι το αντίστροφο της αρχικής συνάρτησης. Θα μπορούσατε να το εξάγετε εύκολα αλλάζονταςΧκαιεστην αρχική λειτουργία και απλοποίηση για λήψηεαπό μόνη της στα αριστερά του ίσου σημείου.