Η εξίσωση ενός επιπέδου σε τρισδιάστατο χώρο μπορεί να γραφτεί με αλγεβρική σημειογραφία ως ax + by + cz = d, όπου τουλάχιστον ένα από τα οι σταθερές πραγματικού αριθμού "a," "b," και "c" δεν πρέπει να είναι μηδέν και τα "x", "y" και "z" αντιπροσωπεύουν τους άξονες της τρισδιάστατης επίπεδο. Εάν δοθούν τρία σημεία, μπορείτε να προσδιορίσετε το επίπεδο χρησιμοποιώντας διανύσματα διανύσματος. Ένα διάνυσμα είναι μια γραμμή στο διάστημα. Ένα εγκάρσιο προϊόν είναι ο πολλαπλασιασμός δύο διανυσμάτων.
Πάρτε τα τρία σημεία στο αεροπλάνο. Σημειώστε τους "A", "B" και "C." Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι αυτά τα σημεία είναι A = (3, 1, 1). Β = (1, 4, 2); και C = (1, 3, 4).
Βρείτε δύο διαφορετικά διανύσματα στο αεροπλάνο. Στο παράδειγμα, επιλέξτε διανύσματα AB και AC. Το διάνυσμα ΑΒ πηγαίνει από το σημείο-Α στο σημείο-Β και το διάνυσμα AC πηγαίνει από το σημείο-Α στο σημείο-Γ. Αφαιρέστε λοιπόν κάθε συντεταγμένη στο σημείο-Α από κάθε συντεταγμένη στο σημείο-Β για να πάρετε το φορέα AB: (-2, 3, 1). Ομοίως, ο φορέας AC είναι σημείο-C μείον το σημείο-Α, ή (-2, 2, 3).
Υπολογίστε το εγκάρσιο προϊόν των δύο διανυσμάτων για να αποκτήσετε ένα νέο διάνυσμα, το οποίο είναι φυσιολογικό (ή κάθετο ή ορθογώνιο) σε καθένα από τα δύο διανύσματα και επίσης στο επίπεδο. Το εγκάρσιο προϊόν δύο φορέων, (a1, a2, a3) και (b1, b2, b3), δίνεται από N = i (a2b3 - a3b2) + j (a3b1 - a1b3) + k (a1b2 - a2b1). Στο παράδειγμα, το διασταυρούμενο προϊόν, Ν, ΑΒ και AC είναι i [(3 x 3) - (1 x 2)] + j [(1 x -2) - (-2 x 3)] + k [( -2 x 2) - (3x - 2)], το οποίο απλοποιείται σε N = 7i + 4j + 2k. Σημειώστε ότι τα "i", "j" και "k" χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση συντεταγμένων διανυσμάτων.
Βγάλτε την εξίσωση του επιπέδου. Η εξίσωση του επιπέδου είναι Ni (x - a1) + Nj (y - a2) + Nk (z - a3) = 0, όπου (a1, a2, a3) είναι οποιοδήποτε σημείο στο επίπεδο και (Ni, Nj, Nk ) είναι ο κανονικός φορέας, Ν. Στο παράδειγμα, χρησιμοποιώντας το σημείο C, που είναι (1, 3, 4), η εξίσωση του επιπέδου είναι 7 (x - 1) + 4 (y - 3) + 2 (z - 4) = 0, που απλοποιεί 7x - 7 + 4y - 12 + 2z - 8 = 0 ή 7x + 4y + 2z = 27.
Επαληθεύστε την απάντησή σας. Αντικαταστήστε τα αρχικά σημεία για να δείτε εάν ικανοποιούν την εξίσωση του επιπέδου. Για να ολοκληρώσω το παράδειγμα, αν αντικαταστήσετε οποιοδήποτε από τα τρία σημεία, θα δείτε ότι η εξίσωση του επιπέδου είναι πράγματι ικανοποιημένη.
Συμβουλές
Δείτε πόρους για συμβουλές σχετικά με τον τρόπο χρήσης συστημάτων τριών ταυτόχρονων εξισώσεων για να βρείτε την εξίσωση ενός επιπέδου