Όταν αρχίζετε να μαθαίνετε για συναρτήσεις, ίσως χρειαστεί να τις θεωρήσετε ως μηχανή: Εισαγάγετε μια τιμή,Χ, στη συνάρτηση, και μόλις υποβληθεί σε επεξεργασία μέσω του μηχανήματος, μια άλλη τιμή - ας το πούμεε- βγαίνει στο τέλος. Το εύρος των δυνατώνΧΟι είσοδοι που μπορούν να έρθουν μέσω του μηχανήματος για να επιστρέψουν μια έγκυρη έξοδο ονομάζονται το πεδίο της συνάρτησης. Έτσι, εάν σας ζητηθεί να βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης, πρέπει πραγματικά να μάθετε ποιες πιθανές εισόδους θα επέστρεφαν μια έγκυρη έξοδο.
Η στρατηγική για την εύρεση τομέα
Εάν απλά μαθαίνετε για συναρτήσεις και τομείς, συνήθως θεωρείται ότι ο τομέας μιας συνάρτησης είναι "όλοι οι πραγματικοί αριθμοί". Έτσι όταν εσύ για τον ορισμό του τομέα, είναι συχνά πιο εύκολο να χρησιμοποιήσετε τις γνώσεις σας για τα μαθηματικά - ειδικά την άλγεβρα - για να προσδιορίσετε ποια αριθμοίδεν είναιέγκυρα μέλη του τομέα. Έτσι, όταν βλέπετε τις οδηγίες "εύρεση του τομέα", είναι συχνά πιο εύκολο να τις διαβάσετε στο μυαλό σας ως "εύρεση και εξάλειψη τυχόν αριθμών πουκλίσηνα είστε στον τομέα. "
Στις περισσότερες περιπτώσεις, αυτό οφείλεται στον έλεγχο (και την εξάλειψη) πιθανών εισόδων που θα μπορούσαν να προκαλέσουν μη καθορισμένα κλάσματα, ή έχουν 0 στον παρονομαστή τους και αναζητούν πιθανές εισόδους που θα σας έδιναν αρνητικούς αριθμούς κάτω από μια τετραγωνική ρίζα σημάδι.
Ένα παράδειγμα εύρεσης τομέα
Εξετάστε τη λειτουργία
f (x) = \ frac {3} {x - 2}
πράγμα που σημαίνει ότι οποιοσδήποτε αριθμός εισάγετε θα πέσει στη θέση τουΧστη δεξιά πλευρά της εξίσωσης. Για παράδειγμα, αν υπολογίσατεφά(4) θα είχατε
f (4) = \ frac {3} {4 - 2}
που λειτουργεί έως 3/2.
Αλλά τι γίνεται αν υπολογίσετεφά(2) ή, με άλλα λόγια, εισάγετε 2 στη θέση τουΧ? Τότε θα έχετε
f (2) = \ frac {3} {2 - 2}
που απλοποιείται σε 3/0, που είναι ένα απροσδιόριστο κλάσμα.
Αυτό απεικονίζει μία από τις δύο κοινές περιπτώσεις που μπορούν να αποκλείσουν έναν αριθμό από τον τομέα μιας συνάρτησης. Εάν υπάρχει ένα κλάσμα που εμπλέκεται και η είσοδος θα προκαλούσε μηδενισμό του παρονομαστή αυτού του κλάσματος, τότε η είσοδος πρέπει να εξαιρείται από τον τομέα της συνάρτησης.
Μια μικρή εξέταση θα σας δείξει ότι είναι απολύτως οποιοσδήποτε αριθμόςεκτός2 θα επιστρέψει ένα έγκυρο (αν μερικές φορές ακατάστατο) αποτέλεσμα για την εν λόγω συνάρτηση, οπότε ο τομέας αυτής της συνάρτησης είναι όλοι οι αριθμοί εκτός από το 2.
Ένα άλλο παράδειγμα εύρεσης τομέα
Υπάρχει μια άλλη κοινή παρουσία που θα αποκλείει πιθανά μέλη του τομέα μιας συνάρτησης: Έχοντας αρνητική ποσότητα κάτω από ένα τετράγωνο ριζικό σημάδι ή οποιαδήποτε ρίζα με ομοιόμορφο ευρετήριο. Εξετάστε τη συνάρτηση παραδείγματος
f (x) = \ sqrt {5 - x}
ΑνΧ≤ 5, τότε η ποσότητα κάτω από το ριζικό σύμβολο θα είναι 0 ή θετική και θα επιστρέψει ένα έγκυρο αποτέλεσμα. Για παράδειγμα, εάνΧ= 4.5 θα είχατε
f (4.5) = \ sqrt {5 - 4.5} = \ sqrt {0.5}
το οποίο, αν και ακατάστατο, επιστρέφει ένα έγκυρο αποτέλεσμα. Κι ανΧ= −10 θα είχατε
f (-10) = \ sqrt {5 - (-10)} = \ sqrt {5 + 10} = \ sqrt {15}
το οποίο, πάλι, επιστρέφει ένα έγκυρο, αν βρώμικο αποτέλεσμα.
Αλλά φανταστείτε αυτόΧ= 5.1. Τη στιγμή που αναποδογυρίζετε τη γραμμή διαχωρισμού μεταξύ 5 και τυχόν αριθμών μεγαλύτερων από αυτό, καταλήγετε με έναν αρνητικό αριθμό κάτω από τη ρίζα
f (5.1) = \ sqrt {5 - 5.1} = \ sqrt {-0.1}
Πολύ αργότερα στη μαθηματική σας καριέρα, θα μάθετε να κατανοείτε τις αρνητικές τετραγωνικές ρίζες χρησιμοποιώντας μια ιδέα που ονομάζεται φανταστικοί αριθμοί ή σύνθετοι αριθμοί. Αλλά προς το παρόν, έχοντας έναν αρνητικό αριθμό κάτω από το ριζικό σημάδι αποκλείει την είσοδο ως έγκυρο μέλος του τομέα της συνάρτησης.
Έτσι, σε αυτήν την περίπτωση, επειδή οποιοσδήποτε αριθμόςΧΤο ≤ 5 επιστρέφει ένα έγκυρο αποτέλεσμα για αυτήν τη συνάρτηση και οποιονδήποτε αριθμόΧ> 5 επιστρέφει ένα μη έγκυρο αποτέλεσμα, ο τομέας της συνάρτησης είναι όλοι οι αριθμοίΧ ≤ 5.