Στα μαθηματικά, μερικές φορές προκύπτει η ανάγκη να αποδειχθεί εάν οι συναρτήσεις εξαρτώνται ή είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους με γραμμική έννοια. Εάν έχετε δύο συναρτήσεις που εξαρτώνται γραμμικά, η γραφική παράσταση των εξισώσεων αυτών των συναρτήσεων οδηγεί σε σημεία που αλληλεπικαλύπτονται. Οι συναρτήσεις με ανεξάρτητες εξισώσεις δεν επικαλύπτονται όταν γράφονται. Μια μέθοδος προσδιορισμού του κατά πόσον οι συναρτήσεις εξαρτώνται ή είναι ανεξάρτητες είναι να υπολογίσετε το Wronskian για τις συναρτήσεις.
Τι είναι το Wronskian;
Ο Wronskian με δύο ή περισσότερες συναρτήσεις είναι αυτό που είναι γνωστό ως καθοριστικός παράγοντας, η οποία είναι μια ειδική συνάρτηση που χρησιμοποιείται για τη σύγκριση μαθηματικών αντικειμένων και την απόδειξη συγκεκριμένων γεγονότων για αυτά. Στην περίπτωση του Wronskian, ο καθοριστής χρησιμοποιείται για να αποδείξει την εξάρτηση ή την ανεξαρτησία μεταξύ δύο ή περισσότερων γραμμικών συναρτήσεων.
Η μήτρα Wronskian
Για τον υπολογισμό του Wronskian για γραμμικές συναρτήσεις, οι συναρτήσεις πρέπει να επιλυθούν για την ίδια τιμή μέσα σε έναν πίνακα που περιέχει τόσο τις συναρτήσεις όσο και τα παράγωγά τους. Ένα παράδειγμα αυτού είναι
W (f, g) (t) = \ begin {vmatrix} f (t) & g (t) \\ f '(t) & g' (t) \ τέλος {vmatrix}
που παρέχει το Wronskian για δύο συναρτήσεις (φάκαισολ) που επιλύονται για μία μόνο τιμή μεγαλύτερη από το μηδέν (τ); μπορείτε να δείτε τις δύο λειτουργίεςφά(τ) καισολ(τ) στην επάνω σειρά του πίνακα και των παραγώγωνφά'(τ) καισολ'(τστην κάτω σειρά. Σημειώστε ότι το Wronskian μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για μεγαλύτερα σύνολα. Εάν, για παράδειγμα, δοκιμάσετε τρεις συναρτήσεις με ένα Wronskian, τότε μπορεί να συμπληρώσετε έναν πίνακα με τις συναρτήσεις και τα παράγωγα τουφά(τ), σολ(τ) καιη(τ).
Επίλυση του Wronskian
Μόλις ρυθμίσετε τις συναρτήσεις σε έναν πίνακα, πολλαπλασιάστε κάθε συνάρτηση έναντι του παραγώγου της άλλης συνάρτησης και αφαιρέστε την πρώτη τιμή από τη δεύτερη. Για το παραπάνω παράδειγμα, αυτό σας δίνει
W (f, g) (t) = f (t) g '(t) - g (t) f' (t)
Εάν η τελική απάντηση είναι μηδέν, αυτό δείχνει ότι οι δύο συναρτήσεις εξαρτώνται. Εάν η απάντηση είναι κάτι διαφορετικό από το μηδέν, οι συναρτήσεις είναι ανεξάρτητες.
Παράδειγμα Wronskian
Για να σας δώσουμε μια καλύτερη ιδέα για το πώς λειτουργεί αυτό, υποθέστε το
f (t) = x + 3 \ κείμενο {και} g (t) = x - 2
Χρήση τιμήςτ= 1, μπορείτε να λύσετε τις λειτουργίες ως
f (1) = 4 \ κείμενο {και} g (1) = -1
Δεδομένου ότι αυτές είναι βασικές γραμμικές συναρτήσεις με κλίση 1, τα παράγωγα και των δύοφά(τ) καισολ(τ) ίσο 1. Πολλαπλασιάζοντας τις τιμές που σας δίνει
W (f, g) (1) = (4 + 1) - (-1 + 1)
που παρέχει ένα τελικό αποτέλεσμα 5. Αν και οι γραμμικές συναρτήσεις έχουν και οι δύο την ίδια κλίση, είναι ανεξάρτητες επειδή τα σημεία τους δεν αλληλεπικαλύπτονται. Ανφά(τ) είχε παραγάγει ένα αποτέλεσμα −1 αντί για 4, ο Wronskian θα έδινε ένα αποτέλεσμα μηδέν αντί να υποδείξει την εξάρτηση.