Η εκμάθηση αντιμετώπισης εκθετών αποτελεί αναπόσπαστο μέρος κάθε μαθηματικής εκπαίδευσης, αλλά ευτυχώς οι κανόνες πολλαπλασιασμού και διαίρεσης τους αντιστοιχούν στους κανόνες για τους μη κλασματικούς εκθέτες. Το πρώτο βήμα για την κατανόηση του τρόπου αντιμετώπισης των κλασματικών εκθετών είναι η μείωση του τι ακριβώς είναι, και μετά μπορείτε να δείτε τους τρόπους με τους οποίους μπορείτε να συνδυάσετε εκθέτες όταν πολλαπλασιάζονται ή χωρίζονται και έχουν τους ίδιους βάση. Εν συντομία, προσθέτετε τους εκθέτες μαζί όταν πολλαπλασιάζετε και αφαιρείτε το ένα από το άλλο κατά τη διαίρεση, υπό την προϋπόθεση ότι έχουν την ίδια βάση.
TL; DR (Πάρα πολύ καιρό; Δεν διαβάστηκε)
Πολλαπλασιάστε όρους με εκθέτες χρησιμοποιώντας τον γενικό κανόνα:
Χένα + Χσι = Χ(ένα + σι)
Και διαιρέστε τους όρους με τους εκθέτες χρησιμοποιώντας τον κανόνα:
Χένα ÷ Χσι = Χ(ένα – σι)
Αυτοί οι κανόνες λειτουργούν με οποιαδήποτε έκφραση στη θέση τουένακαισι, ακόμη και κλάσματα.
Τι είναι οι κλασματικοί εκθέτες;
Οι κλασματικοί εκθέτες παρέχουν έναν συμπαγή και χρήσιμο τρόπο έκφρασης τετραγώνων, κύβων και υψηλότερων ριζών. Ο παρονομαστής του εκθέτη σας λέει ποια ρίζα του αριθμού «βάσης» αντιπροσωπεύει ο όρος. Σε έναν όρο όπωςΧένα, τηλεφωνείςΧη βάση καιέναο εκθέτης. Έτσι, ένας κλασματικός εκθέτης σας λέει:
x ^ {1/2} = \ sqrt {x}
Ο παρονομαστής των δύο στον εκθέτη σας λέει ότι παίρνετε την τετραγωνική ρίζα τουΧσε αυτήν την έκφραση. Ο ίδιος βασικός κανόνας ισχύει για τις υψηλότερες ρίζες:
x ^ {1/3} = \ sqrt [3] {x}
Και
x ^ {1/4} = \ sqrt [4] {x}
Αυτό το μοτίβο συνεχίζεται. Για ένα συγκεκριμένο παράδειγμα:
9 ^ {1/2} = \ sqrt {9} = 3
Και
8 ^ {1/3} = \ sqrt [3] {8} = 2
Fraction Exponent Rules: Πολλαπλασιασμός κλασματικών εκθετών με την ίδια βάση
Πολλαπλασιάστε τους όρους με τους κλασματικούς εκθέτες (υπό την προϋπόθεση ότι έχουν την ίδια βάση) προσθέτοντας μαζί τους εκθέτες. Για παράδειγμα:
x ^ {1/3} × x ^ {1/3} × x ^ {1/3} = x ^ {(1/3 + 1/3 + 1/3)} \\ = x ^ 1 = x
ΑπόΧ1/3 σημαίνει «η ρίζα του κύβου τουΧ, "Έχει νόημα ότι αυτό πολλαπλασιάζεται από μόνο του δίνει το αποτέλεσμαΧ. Μπορεί επίσης να συναντήσετε παραδείγματα όπωςΧ1/3 × Χ1/3, αλλά τα αντιμετωπίζετε με τον ίδιο ακριβώς τρόπο:
x ^ {1/3} × x ^ {1/3} = x ^ {(1/3 + 1/3)} \\ = x ^ {2/3}
Το γεγονός ότι η έκφραση στο τέλος εξακολουθεί να είναι κλασματικός εκθετικός δεν κάνει τη διαφορά στη διαδικασία. Αυτό μπορεί να απλοποιηθεί εάν το παρατηρήσετεΧ2/3 = (Χ1/3)2 = ∛Χ2. Με μια τέτοια έκφραση, δεν έχει σημασία αν παίρνετε τη ρίζα ή τη δύναμη πρώτα. Αυτό το παράδειγμα απεικονίζει τον τρόπο υπολογισμού αυτών:
8 ^ {1/3} + 8 ^ {1/3} = 8 ^ {2/3} \\ = (\ sqrt [3] {8}) ^ 2
Δεδομένου ότι η ρίζα του κύβου 8 είναι εύκολο να επιλυθεί, αντιμετωπίστε το ως εξής:
(\ sqrt [3] {8}) ^ 2 = 2 ^ 2 = 4
Αυτό σημαίνει:
8^{1/3} + 8^{1/3}= 4
Μπορεί επίσης να συναντήσετε προϊόντα κλασματικών εκθετών με διαφορετικούς αριθμούς στους παρονομαστές των κλασμάτων και μπορείτε να προσθέσετε αυτούς τους εκθέτες με τον ίδιο τρόπο που θα προσθέσατε και άλλα κλάσματα. Για παράδειγμα:
\ start {aligned} x ^ {1/4} × x ^ {1/2} & = x ^ {(1/4 + 1/2)} \\ & = x ^ {(1/4 + 2/4 )} \\ & = x ^ {3/4} \ τέλος {στοίχιση}
Αυτές είναι όλες οι συγκεκριμένες εκφράσεις του γενικού κανόνα για τον πολλαπλασιασμό δύο εκφράσεων με εκθέτες:
x ^ a + x ^ b = x ^ {(a + b)}
Κλασικοί εκθετικοί κανόνες: Διαχωρισμός κλασματικών εκθετών με την ίδια βάση
Αντιμετωπίστε τις διαιρέσεις δύο αριθμών με κλασματικούς εκθέτες αφαιρώντας τον εκθέτη που διαιρείτε (ο διαιρέτης) από αυτόν που διαιρείτε (το μέρισμα). Για παράδειγμα:
x ^ {1/2} ÷ x ^ {1/2} = x ^ {(1/2 - 1/2)} \\ = x ^ 0 = 1
Αυτό έχει νόημα, επειδή οποιοσδήποτε αριθμός διαιρούμενος από τον ίδιο είναι ένας, και αυτό συμφωνεί με το τυπικό αποτέλεσμα ότι οποιοσδήποτε αριθμός αυξάνεται σε ισχύ 0 ισούται με έναν. Το επόμενο παράδειγμα χρησιμοποιεί αριθμούς ως βάσεις και διαφορετικούς εκθέτες:
\ start {aligned} 16 ^ {1/2} ÷ 16 ^ {1/4} & = 16 ^ {(1/2 - 1/4)} \\ & = 16 ^ {(2/4 - 1/4 )} \\ & = 16 ^ {1/4} \\ & = 2 \ τέλος {στοίχιση}
Το οποίο μπορείτε επίσης να δείτε αν παρατηρήσετε ότι 161/2 = 4 και 161/4 = 2.
Όπως με τον πολλαπλασιασμό, μπορεί επίσης να καταλήξετε σε κλασματικούς εκθέτες που έχουν έναν αριθμό διαφορετικό από έναν στον αριθμητή, αλλά τα αντιμετωπίζετε με τον ίδιο τρόπο.
Αυτά απλώς εκφράζουν τον γενικό κανόνα για τη διαίρεση των εκθετών:
x ^ a ÷ x ^ b = x ^ {(α - β)}
Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασματικών εκθετών σε διαφορετικές βάσεις
Εάν οι βάσεις των όρων είναι διαφορετικές, δεν υπάρχει εύκολος τρόπος πολλαπλασιασμού ή διαίρεσης εκθετών. Σε αυτές τις περιπτώσεις, απλώς υπολογίστε την αξία των μεμονωμένων όρων και μετά εκτελέστε την απαιτούμενη λειτουργία. Η μόνη εξαίρεση είναι εάν ο εκθέτης είναι ο ίδιος, οπότε μπορείτε να τον πολλαπλασιάσετε ή να τον διαιρέσετε ως εξής:
x ^ 4 × y ^ 4 = (xy) ^ 4 \\ x ^ 4 ÷ y ^ 4 = (x ÷ y) ^ 4