Μέθοδος Εξάλειψης Άπειρων Λύσεων

Όταν ξεκινάτε με τρεις εξισώσεις και τρεις άγνωστες (μεταβλητές), ίσως νομίζετε ότι έχετε αρκετές πληροφορίες για να λύσετε όλες τις μεταβλητές. Ωστόσο, κατά την επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο εξάλειψης, ενδέχεται να διαπιστώσετε ότι το σύστημα δεν είναι αρκετά αποφασισμένος να βρει μια μοναδική απάντηση, και αντίθετα είναι ένας άπειρος αριθμός λύσεων δυνατόν. Αυτό συμβαίνει όταν οι πληροφορίες σε μία από τις εξισώσεις του συστήματος είναι περιττές από τις πληροφορίες που περιέχονται στις άλλες εξισώσεις.

3x + 2y = 5 6x + 4y = 10 Αυτό το σύστημα εξισώσεων είναι σαφώς περιττό. Μπορείτε να δημιουργήσετε μια εξίσωση από την άλλη πολλαπλασιάζοντας με μια σταθερά. Με άλλα λόγια, μεταφέρουν τις ίδιες πληροφορίες. Παρά το γεγονός ότι υπάρχουν δύο εξισώσεις για τα δύο άγνωστα, x και y, η λύση αυτού του συστήματος δεν μπορεί να περιοριστεί σε μία τιμή για το x και μία τιμή για το y. (x, y) = (1,1) και (5 / 3,0) το επιλύουν και τα δύο, όπως και πολλές άλλες λύσεις. Αυτό είναι το είδος του «προβλήματος», αυτή η ανεπάρκεια πληροφοριών, που οδηγεί σε άπειρο αριθμό λύσεων και σε μεγαλύτερα συστήματα εξισώσεων.

x + y + z = 10 x-y + z = 0 x _ + _ z = 5 [Οι υπογράμμιση χρησιμοποιούνται απλώς για τη διατήρηση της απόστασης.] Με τη μέθοδο απομάκρυνσης, εξαλείψτε το x από τη δεύτερη σειρά αφαιρώντας τη δεύτερη σειρά από την πρώτη, δίνοντας x + y + z = 10 _2y= 10 x_ +z = 5 Εξαλείψτε το x από την τρίτη σειρά αφαιρώντας την τρίτη σειρά από την πρώτη. x + y + z = 10 _2y=10 γ= 5 Είναι σαφές ότι οι δύο τελευταίες εξισώσεις είναι ισοδύναμες. y ισούται με 5 και η πρώτη εξίσωση μπορεί να απλοποιηθεί εξαλείφοντας το y. x + 5 + z = 10 y __ = 5 ή x + z = 5 y = 5 Σημειώστε ότι η μέθοδος εξάλειψης δεν θα παράγει ένα ωραίο τριγωνικό σχήμα εδώ, όπως συμβαίνει όταν υπάρχει μια μοναδική λύση. Αντ 'αυτού, η τελευταία εξίσωση (αν όχι περισσότερο) θα απορροφηθεί από μόνη της στις άλλες εξισώσεις. Το σύστημα αποτελείται τώρα από τρία άγνωστα και μόνο δύο εξισώσεις. Το σύστημα ονομάζεται «υποπροσδιορισμένο», επειδή δεν υπάρχουν αρκετές εξισώσεις για τον προσδιορισμό της τιμής όλων των μεταβλητών. Είναι δυνατός ένας άπειρος αριθμός λύσεων.

Η άπειρη λύση για το παραπάνω σύστημα μπορεί να γραφτεί σε μία μεταβλητή. Ένας τρόπος γραφής είναι (x, y, z) = (x, 5,5-x). Δεδομένου ότι το x μπορεί να λάβει έναν άπειρο αριθμό τιμών, η λύση μπορεί να πάρει έναν άπειρο αριθμό τιμών.