3 Μέθοδοι επίλυσης συστημάτων εξισώσεων

Οι τρεις μέθοδοι που χρησιμοποιούνται πιο συχνά για την επίλυση συστημάτων εξίσωσης είναι η υποκατάσταση, η εξάλειψη και οι επαυξημένες μήτρες. Η αντικατάσταση και η εξάλειψη είναι απλές μέθοδοι που μπορούν να λύσουν αποτελεσματικά τα περισσότερα συστήματα δύο εξισώσεων σε λίγα απλά βήματα. Η μέθοδος των επαυξημένων πινάκων απαιτεί περισσότερα βήματα, αλλά η εφαρμογή της επεκτείνεται σε μια μεγαλύτερη ποικιλία συστημάτων.

Η υποκατάσταση είναι μια μέθοδος επίλυσης συστημάτων εξισώσεων με την αφαίρεση όλων εκτός από μία από τις μεταβλητές σε μία από τις εξισώσεις και στη συνέχεια επίλυση αυτής της εξίσωσης. Αυτό επιτυγχάνεται με την απομόνωση της άλλης μεταβλητής σε μια εξίσωση και στη συνέχεια αντικατάσταση των τιμών για αυτές τις μεταβλητές σε μια άλλη εξίσωση. Για παράδειγμα, για την επίλυση του συστήματος εξισώσεων x + y = 4, 2x - 3y = 3, απομονώστε τη μεταβλητή x στην πρώτη εξίσωση για να πάρετε x = 4 - y και, στη συνέχεια, αντικαταστήστε αυτήν την τιμή του y στη δεύτερη εξίσωση για να πάρετε 2 (4 - y) - 3y = 3. Αυτή η εξίσωση απλοποιείται σε -5y = -5 ή y = 1. Συνδέστε αυτήν την τιμή στη δεύτερη εξίσωση για να βρείτε την τιμή x: x + 1 = 4 ή x = 3.

Η εξάλειψη είναι ένας άλλος τρόπος για την επίλυση συστημάτων εξισώσεων ξαναγράφοντας μία από τις εξισώσεις με όρους μόνο μιας μεταβλητής. Η μέθοδος εξάλειψης το επιτυγχάνει προσθέτοντας ή αφαιρώντας εξισώσεις μεταξύ τους για να ακυρώσουμε μία από τις μεταβλητές. Για παράδειγμα, η προσθήκη των εξισώσεων x + 2y = 3 και 2x - 2y = 3 αποδίδει μια νέα εξίσωση, 3x = 6 (σημειώστε ότι οι όροι y ακυρώθηκαν). Το σύστημα στη συνέχεια επιλύεται χρησιμοποιώντας τις ίδιες μεθόδους όπως για την αντικατάσταση. Εάν είναι αδύνατο να ακυρωθούν οι μεταβλητές στις εξισώσεις, θα είναι απαραίτητο να πολλαπλασιαστεί ολόκληρη η εξίσωση με έναν παράγοντα για να ταιριάξουν οι συντελεστές.

Οι επαυξημένοι πίνακες μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για την επίλυση συστημάτων εξισώσεων. Ο αυξημένος πίνακας αποτελείται από σειρές για κάθε εξίσωση, στήλες για κάθε μεταβλητή και μια επαυξημένη στήλη που περιέχει τον σταθερό όρο στην άλλη πλευρά της εξίσωσης. Για παράδειγμα, η επαυξημένη μήτρα για το σύστημα εξισώσεων 2x + y = 4, 2x - y = 0 είναι [[2 1], [2 -1]... [4, 0]].

Το επόμενο βήμα περιλαμβάνει τη χρήση λειτουργιών στοιχειώδους σειράς, όπως ο πολλαπλασιασμός ή ο διαχωρισμός μιας γραμμής με μια σταθερά διαφορετική από το μηδέν και η προσθήκη ή αφαίρεση γραμμών. Ο στόχος αυτών των λειτουργιών είναι να μετατρέψει τη μήτρα σε μορφή echelon-line, στην οποία η πρώτη μη μηδενική καταχώρηση σε κάθε σειρά είναι 1, καταχωρήσεις πάνω και κάτω από αυτήν την καταχώριση είναι όλα μηδενικά και η πρώτη μη μηδενική καταχώριση για κάθε σειρά είναι πάντα στα δεξιά όλων αυτών των καταχωρήσεων στις σειρές πάνω από αυτό. Η φόρμα σειράς για τον παραπάνω πίνακα είναι [[1 0], [0 1]... [1, 2]]. Η τιμή της πρώτης μεταβλητής δίνεται από την πρώτη σειρά (1x + 0y = 1 ή x = 1). Η τιμή της δεύτερης μεταβλητής δίνεται από τη δεύτερη σειρά (0x + 1y = 2 ή y = 2).

Η αντικατάσταση και η εξάλειψη είναι απλούστερες μέθοδοι επίλυσης εξισώσεων και χρησιμοποιούνται πολύ πιο συχνά από ότι οι επαυξημένοι πίνακες στη βασική άλγεβρα. Η μέθοδος υποκατάστασης είναι ιδιαίτερα χρήσιμη όταν μία από τις μεταβλητές είναι ήδη απομονωμένη σε μία από τις εξισώσεις. Η μέθοδος εξάλειψης είναι χρήσιμη όταν ο συντελεστής μίας από τις μεταβλητές είναι ο ίδιος (ή το αρνητικό ισοδύναμό του) σε όλες τις εξισώσεις. Το πρωταρχικό πλεονέκτημα των επαυξημένων πινάκων είναι ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση συστημάτων τριών ή περισσότερων εξισώσεων σε καταστάσεις όπου η υποκατάσταση και η εξάλειψη είναι είτε ανέφικτες είτε αδύνατες.