Μια τετραγωνική εξίσωση είναι αυτή που περιέχει μια μεμονωμένη μεταβλητή και στην οποία η μεταβλητή είναι τετράγωνη. Η τυπική φόρμα για αυτόν τον τύπο εξίσωσης, που παράγει πάντα μια παραβολή όταν γράφεται, είναιτσεκούρι2 + bx + ντο= 0, πούένα, σικαιντοείναι σταθερές. Η εύρεση λύσεων δεν είναι τόσο απλή όσο είναι για μια γραμμική εξίσωση και μέρος του λόγου είναι ότι, λόγω του τετραγωνικού όρου, υπάρχουν πάντα δύο λύσεις. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μία από τις τρεις μεθόδους για να λύσετε μια τετραγωνική εξίσωση. Μπορείτε να προσδιορίσετε τους όρους, οι οποίοι λειτουργούν καλύτερα με απλούστερες εξισώσεις ή μπορείτε να ολοκληρώσετε το τετράγωνο. Η τρίτη μέθοδος είναι να χρησιμοποιήσετε τον τετραγωνικό τύπο, τον οποίο μια γενικευμένη λύση σε κάθε τετραγωνική εξίσωση.
Ο τετραγωνικός τύπος
Για μια γενική τετραγωνική εξίσωση της φόρμαςτσεκούρι2 + bx + ντο= 0, οι λύσεις δίνονται με αυτόν τον τύπο:
x = \ frac {−b ± \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2α}
Σημειώστε ότι το σύμβολο ± εντός των αγκυλών σημαίνει ότι υπάρχουν πάντα δύο λύσεις. Μία από τις λύσεις χρησιμοποιεί
\ frac {−b + \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2α}
και οι άλλες χρήσεις λύσεων
\ frac {−b - \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2α}
Χρησιμοποιώντας τον τετραγωνικό τύπο
Προτού μπορέσετε να χρησιμοποιήσετε τον τετραγωνικό τύπο, πρέπει να βεβαιωθείτε ότι η εξίσωση είναι σε τυπική μορφή. Μπορεί να μην είναι. ΜερικοίΧ2 οι όροι μπορεί να είναι και στις δύο πλευρές της εξίσωσης, οπότε θα πρέπει να συλλέξετε αυτούς στη δεξιά πλευρά. Κάντε το ίδιο με όλους τους όρους x και τις σταθερές.
Παράδειγμα: Βρείτε τις λύσεις στην εξίσωση
3x ^ 2 - 12 = 2x (x -1)
Αναπτύξτε τις αγκύλες:
3x ^ 2 - 12 = 2x ^ 2 - 2x
Αφαίρεση 2Χ2 και από τις δύο πλευρές. Προσθήκη 2Χκαι στις δύο πλευρές
3x ^ 2 - 2x ^ 2 + 2x - 12 = 2x ^ 2 -2x ^ 2 -2x + 2x \\ 3x ^ 2 - 2x ^ 2 + 2x - 12 = 0 \\ x ^ 2 - 2x -12 = 0
Αυτή η εξίσωση είναι σε τυπική μορφήτσεκούρι2 + bx + ντο= 0 πούένα = 1, σι= −2 καιντο = 12
Ο τετραγωνικός τύπος είναι
x = \ frac {−b ± \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2α}
Απόένα = 1, σι= −2 καιντο= −12, αυτό γίνεται
x = \ frac {- (- 2) ± \ sqrt {(- 2) ^ 2 - 4 × 1 × (-12)}} {2 × 1}
x = \ frac {2 ± \ sqrt {(4+ 48}} {2} \\ \, \\ x = \ frac {2 ± \ sqrt {52}} {2} \\ \, \\ x = \ frac {2 ± 7.21} {2} \\ \, \\ x = \ frac {9.21} {2} \ text {και} x = \ frac {−5.21} {2} \\ \, \\ x = 4.605 \ κείμενο {και} x = −2.605
Δύο άλλοι τρόποι επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων
Μπορείτε να επιλύσετε τετραγωνικές εξισώσεις με συντελεστή. Για να το κάνετε αυτό, μαντεύετε λίγο-πολύ ένα ζευγάρι αριθμών που, όταν προστίθενται μαζί, δίνουν τη σταθεράσικαι, όταν πολλαπλασιάζονται μαζί, δώστε τη σταθεράντο. Αυτή η μέθοδος μπορεί να είναι δύσκολη όταν εμπλέκονται κλάσματα. και δεν θα λειτουργούσε καλά για το παραπάνω παράδειγμα.
Η άλλη μέθοδος είναι να συμπληρώσετε το τετράγωνο. Εάν έχετε μια εξίσωση είναι τυπική μορφή,τσεκούρι2 + bx + ντο= 0, βάλτεντοστη δεξιά πλευρά και προσθέστε τον όρο (σι/2)2 και στις δύο πλευρές. Αυτό σας επιτρέπει να εκφράσετε την αριστερή πλευρά ως (Χ + ρε)2, όπουρεείναι μια σταθερά. Στη συνέχεια, μπορείτε να πάρετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών και να λύσετεΧ. Και πάλι, η εξίσωση στο παραπάνω παράδειγμα είναι πιο εύκολο να επιλυθεί χρησιμοποιώντας τον τετραγωνικό τύπο.