Το γράμμα E μπορεί να έχει δύο διαφορετικά νοήματα στα μαθηματικά, ανάλογα με το αν είναι κεφαλαίο E ή πεζά e. Συνήθως βλέπετε το κεφαλαίο E σε μια αριθμομηχανή, όπου σημαίνει να αυξήσετε τον αριθμό που ακολουθεί μετά από αυτήν σε ισχύ 10. Για παράδειγμα, το 1E6 θα σημαίνει 1 × 106, ή 1 εκατομμύριο. Κανονικά, η χρήση του E προορίζεται για αριθμούς που θα ήταν υπερβολικά μεγάλοι για να εμφανιστούν στην οθόνη της αριθμομηχανής εάν ήταν γραμμένοι μακροπρόθεσμα.
Οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν το πεζά e για έναν πολύ πιο ενδιαφέρον σκοπό - για να δηλώσουν τον αριθμό του Euler. Αυτός ο αριθμός, όπως π, είναι ένας παράλογος αριθμός, επειδή έχει ένα μη επαναλαμβανόμενο δεκαδικό που εκτείνεται στο άπειρο. Όπως ένα παράλογο άτομο, ένας παράλογος αριθμός φαίνεται να μην έχει νόημα, αλλά ο αριθμός που δηλώνει δεν χρειάζεται να έχει νόημα για να είναι χρήσιμος. Στην πραγματικότητα, είναι ένας από τους πιο χρήσιμους αριθμούς στα μαθηματικά.
E στην επιστημονική σημειογραφία και το νόημα του 1E6
Δεν χρειάζεστε αριθμομηχανή για να χρησιμοποιήσετε το E για να εκφράσετε έναν αριθμό στην επιστημονική σημειογραφία. Μπορείτε απλά να αφήσετε το E να αντιπροσωπεύει τη βασική ρίζα ενός εκθέτη, αλλά μόνο όταν η βάση είναι 10. Δεν θα χρησιμοποιούσατε το E για να αντικαταστήσετε τη βάση 8, 4 ή οποιαδήποτε άλλη βάση, ειδικά εάν η βάση είναι ο αριθμός του Euler, π.χ.
Όταν χρησιμοποιείτε το E με αυτόν τον τρόπο, γράφετε τον αριθμόΧμιε, όπουΧείναι το πρώτο σύνολο ακέραιων αριθμών καιεείναι ο εκθέτης. Για παράδειγμα, θα γράφατε τον αριθμό 1 εκατομμύριο ως 1E6. Στην τακτική επιστημονική σημειογραφία, αυτό είναι 1 × 106, ή 1 ακολουθούμενο από 6 μηδενικά. Ομοίως, 5 εκατομμύρια θα ήταν 5E6 και 42.732 θα ήταν 4.27E4. Όταν γράφετε έναν αριθμό σε επιστημονική σημειογραφία, είτε χρησιμοποιείτε Ε είτε όχι, συνήθως στρογγυλοποιείτε σε δύο δεκαδικά ψηφία.
Από πού προέρχεται ο αριθμός του Euler, e,
Ο αριθμός που αναπαριστάται από το e ανακαλύφθηκε από τον μαθηματικό Leonard Euler ως λύση σε ένα πρόβλημα που έθεσε ένας άλλος μαθηματικός, Jacob Bernoulli, 50 χρόνια νωρίτερα. Το πρόβλημα του Μπερνούλι ήταν οικονομικό.
Ας υποθέσουμε ότι βάλατε 1.000 $ σε μια τράπεζα που πληρώνει 100% ετήσιο σύνθετο επιτόκιο και το αφήνετε εκεί για ένα χρόνο. Θα έχετε 2.000 $. Ας υποθέσουμε τώρα ότι το επιτόκιο είναι το μισό από αυτό, αλλά η τράπεζα το πληρώνει δύο φορές το χρόνο. Στο τέλος ενός έτους, θα είχατε 2.250 $. Ας υποθέσουμε τώρα ότι η τράπεζα πλήρωνε μόνο το 8,33%, δηλαδή το 1/12 του 100%, αλλά το πλήρωνε 12 φορές το χρόνο. Στο τέλος του έτους, θα έχετε 2.613 $. Η γενική εξίσωση για αυτήν την εξέλιξη είναι:
\ bigg (1 + \ frac {r} {n} \ bigg) ^ n
όπουρείναι 1 και το n είναι η περίοδος πληρωμής.
Αποδεικνύεται ότι, καθώς το n πλησιάζει το άπειρο, το αποτέλεσμα πλησιάζει και πλησιάζει το e, που είναι 2,7182818284 έως 10 δεκαδικά ψηφία. Έτσι το ανακάλυψε ο Euler. Η μέγιστη απόδοση που θα μπορούσατε να πάρετε με επένδυση 1.000 $ σε ένα έτος θα ήταν 2.718 $.
Ο αριθμός του Euler στη φύση
Οι εκθέτες με το e ως βάση είναι γνωστοί ως φυσικοί εκθέτες, και εδώ είναι ο λόγος. Εάν σχεδιάσετε ένα γράφημα του
y = e ^ x
θα λάβετε μια καμπύλη που αυξάνεται εκθετικά, όπως θα κάνατε αν σχεδιάσατε την καμπύλη με βάση 10 ή οποιονδήποτε άλλο αριθμό. Ωστόσο, η καμπύληε= εΧέχει δύο ειδικές ιδιότητες. Για οποιαδήποτε τιμήΧ, η αξία τουεισούται με την τιμή της κλίσης του γραφήματος σε αυτό το σημείο, και ισούται επίσης με την περιοχή κάτω από την καμπύλη μέχρι εκείνο το σημείο. Αυτό καθιστά έναν πολύ σημαντικό αριθμό στον λογισμό και σε όλους τους τομείς της επιστήμης που χρησιμοποιούν το λογισμό.
Η λογαριθμική σπείρα, η οποία αντιπροσωπεύεται από την εξίσωση
r = α ^ {βθ}
βρίσκεται σε όλη τη φύση, σε κοχύλια, απολιθώματα και λουλούδια. Επιπλέον, το e εμφανίζεται σε πολλά επιστημονικά πλαίσια, συμπεριλαμβανομένων των μελετών των ηλεκτρικών κυκλωμάτων, των νόμων της θέρμανσης και της ψύξης και της απόσβεσης των ελατηρίων. Παρόλο που ανακαλύφθηκε πριν από 350 χρόνια, οι επιστήμονες συνεχίζουν να βρίσκουν στη φύση νέα παραδείγματα του αριθμού του Euler.