Μερικές φορές είναι απαραίτητο να βρεθεί ένας μη μηδενικός φορέας που, όταν πολλαπλασιαστεί με έναν τετραγωνικό πίνακα, θα μας δώσει ένα πολλαπλάσιο του διανύσματος. Αυτός ο μη μηδενικός φορέας ονομάζεται "eigenvector". Τα eigenvectors δεν ενδιαφέρουν μόνο τους μαθηματικούς, αλλά και άλλους σε επαγγέλματα όπως η φυσική και η μηχανική. Για τον υπολογισμό τους, θα πρέπει να κατανοήσετε την άλγεβρα και τους καθοριστικούς παράγοντες.
Μάθετε και κατανοήστε τον ορισμό του "eigenvector". Βρίσκεται για ένα τετράγωνο μήτρα n x n και επίσης ένα κλιματική ιδιοτιμή που ονομάζεται «λάμδα». Η λάμδα αντιπροσωπεύεται από το ελληνικό γράμμα, αλλά εδώ θα το συντομεύσουμε ΜΕΓΑΛΟ. Εάν υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα x όπου Ax = Lx, αυτό το διάνυσμα x ονομάζεται "ιδιοτιμή του Α."
Βρείτε τις ιδιοτιμές του πίνακα χρησιμοποιώντας τη χαρακτηριστική εξίσωση det (A - LI) = 0. Το "Det" σημαίνει τον καθοριστικό παράγοντα και το "I" είναι ο πίνακας ταυτότητας.
Υπολογίστε το eigenvector για κάθε ιδιοτιμή, βρίσκοντας ένα eigenspace E (L), που είναι ο μηδενικός χώρος της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Οι μη μηδενικοί φορείς του E (L) είναι οι ιδιοδιανύσματα του Α. Αυτά εντοπίζονται συνδέοντας τους ιδιοδιανύσματα πίσω στη χαρακτηριστική μήτρα και βρίσκοντας μια βάση για το A - LI = 0.
Υπολογίστε τις ιδιοτιμές με τη χρήση της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Το Det (A - LI) είναι (3 - L) (3 - L) --1 = L ^ 2 - 6L + 8 = 0, που είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο. Η επίλυση αυτού αλγεβρικά μας δίνει L1 = 4 και L2 = 2, που είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα μας.
Βρείτε το eigenvector για L = 4 υπολογίζοντας το μηδενικό διάστημα. Κάνετε αυτό τοποθετώντας το L1 = 4 στη χαρακτηριστική μήτρα και βρείτε τη βάση για το A - 4I = 0. Λύνοντας αυτό, βρίσκουμε x - y = 0 ή x = y. Αυτό έχει μόνο μία ανεξάρτητη λύση δεδομένου ότι είναι ίσες, όπως x = y = 1. Επομένως, το v1 = (1,1) είναι ιδιοδιανύσματα που εκτείνεται στον ευρυχωρικό χώρο του L1 = 4.
Επαναλάβετε το βήμα 6 για να βρείτε το eigenvector για L2 = 2. Βρίσκουμε x + y = 0 ή x = --y. Αυτό έχει επίσης μια ανεξάρτητη λύση, ας πούμε x = --1 και y = 1. Επομένως, το v2 = (-1,1) είναι ιδιοδιανύσματα που εκτείνεται στον ευρυχωρικό χώρο του L2 = 2.