Ποια είναι η διαφορά μεταξύ ακεραίων και πραγματικών αριθμών;

Ο ορισμός ενός πραγματικού αριθμού είναι τόσο ευρύς που περιλαμβάνει σχεδόν όλους τους αριθμούς στο μαθηματικό σύμπαν. Όλοι οι αριθμοί και οι ακέραιοι είναι ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών, όπως και οι λογικοί και οι παράλογοι αριθμοί. Το πραγματικό σύνολο αριθμών συμβολίζεται με το σύμβολο ℝ.

Οι αριθμοί που χρησιμοποιούμε συνήθως για την καταμέτρηση είναι γνωστοί στους φυσικούς αριθμούς (1, 2, 3 ...). Όταν συμπεριλαμβάνετε μηδέν, έχετε μια ομάδα γνωστή ως ακέραιοι αριθμοί (0, 1, 2, 3 ...). Ακέραιοι είναι το σύνολο των αριθμών που περιλαμβάνει όλους τους ακέραιους αριθμούς μαζί με τις αρνητικές εκδόσεις των φυσικών αριθμών. Το σύνολο ακέραιου αριθμού αντιπροσωπεύεται από ℤ.

Οι αριθμοί που συνήθως θεωρούμε ως κλάσματα αποτελούν το σύνολο των λογικών αριθμών. Ένα κλάσμα είναι ένας αριθμός που αντιπροσωπεύεται ως λόγος μεταξύ δύο ακέραιων αριθμών, ένα και σι, της φόρμας α / β, όπου σι δεν είναι μηδέν. Ένα κλάσμα με μηδέν στη δεξιά πλευρά του λόγου του είναι αόριστο ή απροσδιόριστο. Ένας λογικός αριθμός μπορεί επίσης να αναπαρασταθεί με δεκαδική μορφή. Η δεκαδική επέκταση ενός λογικού αριθμού θα τερματίζεται πάντα είτε θα έχει ένα μοτίβο αριθμών που θα επαναλαμβάνεται στα δεξιά του δεκαδικού σημείου. Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί είναι λογικοί αριθμοί δεδομένου ότι οποιοσδήποτε ακέραιος μπορεί να αντιπροσωπεύεται από την αναλογία

Το σύνολο των αριθμών που δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως αναλογία μεταξύ ακέραιων λέγονται παράλογες. Όταν αναπαρίσταται σε δεκαδική μορφή, ένας παράλογος αριθμός δεν είναι τερματισμός και έχει ένα μη επαναλαμβανόμενο μοτίβο αριθμών στα δεξιά της υποδιαστολής. Δεν υπάρχει τυπικό σύμβολο για το σύνολο των παράλογων αριθμών. Το σύνολο των λογικών και παράλογων αριθμών είναι αμοιβαία αποκλειστικό, πράγμα που σημαίνει ότι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί είναι είτε λογικοί είτε παράλογοι, αλλά όχι και τα δύο.

Το πραγματικό σύνολο αριθμών αντιπροσωπεύει ένα ταξινομημένο σύνολο τιμών που μπορούν να αναπαρασταθούν σε μια γραμμή αριθμών που σχεδιάζεται οριζόντια, με αυξανόμενες τιμές προς τα δεξιά και μειωμένες τιμές προς τα αριστερά. Κάθε πραγματικός αριθμός αντιστοιχεί σε ένα διακριτό σημείο αυτής της γραμμής, γνωστό ως συντεταγμένη του. Η γραμμή αριθμών εκτείνεται στο άπειρο και στις δύο κατευθύνσεις, πράγμα που σημαίνει ότι το πραγματικό σύνολο αριθμών έχει έναν άπειρο αριθμό μελών.

Υπάρχουν μερικές μαθηματικές εξισώσεις για τις οποίες η λύση δεν είναι πραγματικός αριθμός. Ένα παράδειγμα είναι ένας τύπος που περιλαμβάνει την τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού. Δεδομένου ότι το τετράγωνο δύο αρνητικών αριθμών οδηγεί πάντα σε θετικό αριθμό, η λύση φαίνεται αδύνατη. Ένα σύνολο αριθμών γνωστών ως σύνθετοι αριθμοί περιλαμβάνει φανταστικούς αριθμούς όπως η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού. Το σύνθετο σύνολο αριθμών είναι ξεχωριστό από το πραγματικό σύνολο αριθμών και αντιπροσωπεύεται από το τυπικό σύμβολο ℂ.