Μερικές φορές, ο μόνος τρόπος για να περάσετε από μαθηματικούς υπολογισμούς είναι με ωμή βία. Αλλά κάθε τόσο συχνά, μπορείτε να εξοικονομήσετε πολλή δουλειά αναγνωρίζοντας ειδικά προβλήματα που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια τυποποιημένη φόρμουλα για επίλυση. Η εύρεση του αθροίσματος των κύβων και η διαφορά των κύβων είναι δύο παραδείγματα ακριβώς αυτού: Μόλις ξέρετε τους τύπους για το factoringένα3 + σι3 ήένα3 - σι3, η εύρεση της απάντησης είναι τόσο εύκολη όσο η αντικατάσταση των τιμών για το a και b στον σωστό τύπο.
Βάζοντας το σε περιβάλλον
Πρώτον, μια γρήγορη ματιά στο γιατί ίσως θέλετε να βρείτε - ή πιο σωστά "παράγοντα" - τα αθροίσματα ή τη διαφορά των κύβων. Όταν η ιδέα παρουσιάζεται για πρώτη φορά, είναι ένα απλό μαθηματικό πρόβλημα από μόνο του. Αλλά αν συνεχίσετε να μελετάτε μαθηματικά, αργότερα αυτό θα γίνει ένα ενδιάμεσο βήμα σε πιο περίπλοκους υπολογισμούς. Αν λοιπόν πάρετεένα3 + σι3 ήένα3 − σι3 ως απάντηση κατά τη διάρκεια άλλων υπολογισμών, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις δεξιότητες που πρόκειται να μάθετε να σπάτε αυτούς τους κύβους αριθμούς χωριστά σε απλούστερα στοιχεία, γεγονός που συχνά καθιστά ευκολότερη τη συνέχιση της επίλυσης του πρωτοτύπου πρόβλημα.
Παράγοντας το άθροισμα των κύβων
Φανταστείτε ότι έχετε φτάσει στο διωνυμικό
x ^ 3 + 27
και καλούνται να το απλοποιήσουν. Ο πρώτος όρος,Χ3, είναι προφανώς ένας κύβος αριθμός. Μετά από μια μικρή εξέταση, μπορείτε να δείτε ότι ο δεύτερος αριθμός είναι επίσης ένας κύβος αριθμός: 27 είναι το ίδιο με το 33. Τώρα που γνωρίζετε ότι και οι δύο αριθμοί είναι κύβοι, μπορείτε να εφαρμόσετε τον τύπο για το άθροισμα των κύβων.
Γράψτε και τους δύο αριθμούς στη μορφή τους σε κύβους, εάν αυτό δεν ισχύει ήδη. Για να συνεχίσετε αυτό το παράδειγμα, θα έχετε:
x ^ 3 + 27 = x ^ 3 + 3 ^ 3
Μόλις συνηθίσετε τη διαδικασία, μπορείτε να παραλείψετε αυτό το βήμα και να μεταβείτε κατευθείαν στη συμπλήρωση των τιμών από το Βήμα 1 στον τύπο. Αλλά ειδικά όταν μαθαίνετε, είναι καλύτερο να προχωρήσετε βήμα προς βήμα και να θυμηθείτε τον τύπο:
a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 - ab + b ^ 2)
Συγκρίνετε την αριστερή πλευρά αυτής της εξίσωσης με το αποτέλεσμα από το Βήμα 1. Σημειώστε ότι μπορείτε να αντικαταστήσετεΧστη θέση τουένα,και 3 στη θέση τουσι.
Αντικαταστήστε τις τιμές από το Βήμα 1 στον τύπο στο Βήμα 2. Έτσι έχετε:
x ^ 3 + 3 ^ 3 = (x + 3) (x ^ 2 - 3x + 3 ^ 2)
Προς το παρόν, η άφιξη στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης αντιπροσωπεύει την απάντησή σας. Αυτό είναι το αποτέλεσμα του factoring του αθροίσματος των δύο κυβισμένων αριθμών.
Λαμβάνοντας υπόψη τη διαφορά των κύβων
Η παραγοντοποίηση της διαφοράς δύο κυβισμένων αριθμών λειτουργεί με τον ίδιο τρόπο. Στην πραγματικότητα, ο τύπος είναι σχεδόν πανομοιότυπος με τον τύπο για το άθροισμα των κύβων. Υπάρχει όμως μια κρίσιμη διαφορά: Δώστε ιδιαίτερη προσοχή στο πού πηγαίνει το σύμβολο μείον.
Φανταστείτε ότι έχετε το πρόβλημα
y ^ 3 - 125
και πρέπει να το συντελεστεί. Οπως και πριν,ε3 είναι ένας προφανής κύβος και με λίγη σκέψη θα πρέπει να μπορείτε να αναγνωρίσετε ότι το 125 είναι στην πραγματικότητα 53. Έτσι έχετε:
y ^ 3 - 125 = y ^ 3 - 5 ^ 3
Όπως και πριν, γράψτε τον τύπο για τη διαφορά των κύβων. Παρατηρήστε ότι μπορείτε να αντικαταστήσετεεΓιαένακαι 5 γιασικαι σημειώστε πού πηγαίνει το σύμβολο μείον σε αυτόν τον τύπο. Η θέση του σημείου μείον είναι η μόνη διαφορά μεταξύ αυτού του τύπου και του τύπου για το άθροισμα των κύβων.
a ^ 3 - b ^ 3 = (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2)
Γράψτε ξανά τον τύπο, αντικαθιστώντας αυτή τη φορά τις τιμές από το Βήμα 1. Αυτό αποδίδει:
y ^ 3 - 5 ^ 3 = (y - 5) (y ^ 2 + 5y + 5 ^ 2)
Και πάλι, αν το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να διαμορφώσετε τη διαφορά των κύβων, αυτή είναι η απάντησή σας.