Σύμφωνα με τον Ευκλείδη, μια ευθεία γραμμή συνεχίζεται για πάντα. Όταν υπάρχουν περισσότερες από μία γραμμές σε ένα αεροπλάνο, η κατάσταση γίνεται πιο ενδιαφέρουσα. Εάν δύο γραμμές δεν τέμνονται ποτέ, οι γραμμές είναι παράλληλες. Εάν δύο γραμμές τέμνονται σε ορθή γωνία - 90 μοίρες - οι γραμμές λέγεται ότι είναι κάθετες. Το κλειδί για την κατανόηση του τρόπου με τον οποίο οι γραμμές σχετίζονται μεταξύ τους είναι η έννοια της κλίσης, η οποία είναι η σχέση που έχουν όλες οι γραμμές στο επίπεδο φόντου.
Μια οριζόντια γραμμή έχει κλίση μηδέν. Εάν η γραμμή είναι κατακόρυφη, η κλίση λέγεται ότι δεν είναι καθορισμένη. Για όλες τις άλλες γραμμές, η κλίση εντοπίζεται σχεδιάζοντας (ή φανταζόμαστε) ένα μικρό δεξί τρίγωνο που σχηματίζεται από μικρές κάθετες και οριζόντιες γραμμές όπου ένα τμήμα της γραμμής που δοκιμάζεται είναι η υπόταση. Το μήκος της κάθετης γραμμής διαιρούμενο με το μήκος της οριζόντιας γραμμής είναι η κλίση της εν λόγω γραμμής.
Οι παράλληλες γραμμές έχουν την ίδια κλίση. Δεν χρειάζεται να σχεδιάσετε τις γραμμές και να δημιουργήσετε το καθορισμένο τρίγωνο για να βρείτε την κλίση. Εάν η εξίσωση της γραμμής είναι στη σωστή μορφή, μπορείτε να διαβάσετε την κλίση απευθείας από τον τύπο. Η μορφή κλίσης είναι y = mx + b. Χειριστείτε τον τύπο σας έως ότου είναι σε αυτήν τη μορφή και το "m" είναι η κλίση. Για παράδειγμα, εάν η γραμμή σας έχει την εξίσωση Ax - By = C, ένας μικρός αλγεβρικός χειρισμός το βάζει στην ισοδύναμη μορφή y = (A / B) x - C / B, οπότε η κλίση αυτής της γραμμής είναι A / B.
Οι κλίσεις των κάθετων γραμμών έχουν μια συγκεκριμένη σχέση. Εάν η κλίση της γραμμής 1 είναι m, η κλίση μιας γραμμής κάθετα προς αυτήν θα έχει κλίση -1 / m. Οι κλίσεις των κάθετων γραμμών είναι αρνητικές μεταξύ τους. Εάν η κλίση μιας συγκεκριμένης γραμμής είναι 3, όλες οι γραμμές που είναι κάθετες στη γραμμή θα έχουν κλίση -1/3.
Η γνώση σχετικά με τις πλαγιές, τις παράλληλες γραμμές και τις κάθετες γραμμές σας επιτρέπει να κατασκευάσετε οποιοδήποτε είδος γραμμής σε οποιοδήποτε σημείο. Εξετάστε, για παράδειγμα, το πρόβλημα εύρεσης της εξίσωσης για μια γραμμή που περνά από το σημείο (3, 4) και είναι κάθετη προς τη γραμμή 3x + 4y = 5. Χειριστείτε την εξίσωση της γνωστής γραμμής, παίρνετε y = - (3/4) x + 5/4. Η κλίση αυτής της γραμμής είναι -3/4 και η κλίση της γραμμής κάθετα προς αυτήν τη γραμμή είναι 4/3. Οι κάθετες γραμμές θα μοιάζουν με αυτό: y = 4 / 3x + b. Για τη γραμμή που περνά (3, 4), μπορείτε να συνδέσετε τους αριθμούς ως εξής: 4 = 4/3 (3) + b, που σημαίνει ότι b = 0. Η εξίσωση για τη γραμμή που περνά (3, 4) και είναι κάθετη προς τη γραμμή 3x + 4y = 5 είναι y = 4 / 3x ή 4x - 3y = 0.