Πώς να υπολογίσετε μια διατομή περιοχής

Μπορεί να αντιμετωπίσετε καταστάσεις στις οποίες έχετε ένα τρισδιάστατο συμπαγές σχήμα και πρέπει να καταλάβετε το περιοχή ενός φανταστικού επιπέδου που εισάγεται μέσω του σχήματος και έχει όρια που ορίζονται από τα όρια του στερεός.

Για παράδειγμα, εάν είχατε έναν κυλινδρικό σωλήνα να τρέχει κάτω από το σπίτι σας μήκους 20 μέτρων (m) και πλάτους 0,15 m, ίσως θέλετε να μάθετε επιφάνεια εγκάρσιας διατομής του σωλήνα.

Οι διατομές μπορούν να είναι κάθετες στον προσανατολισμό των αξόνων του στερεού εάν υπάρχουν. Στην περίπτωση σφαίρας, οποιοδήποτε επίπεδο κοπής διαμέσου της σφαίρας ανεξάρτητα από τον προσανατολισμό θα έχει ως αποτέλεσμα δίσκο κάποιου μεγέθους.

Η περιοχή της διατομής εξαρτάται από το σχήμα του στερεού που καθορίζει τη διατομή όρια και τη γωνία μεταξύ του άξονα συμμετρίας του στερεού (εάν υπάρχει) και του επιπέδου που δημιουργεί το διατομή.

Ο όγκος οποιουδήποτε ορθογώνιου στερεού, συμπεριλαμβανομένου ενός κύβου, είναι η περιοχή της βάσης του (μήκος φορές πλάτος) πολλαπλασιασμένο επί το ύψος του: V = l × β × h.

Επομένως, εάν μια διατομή είναι παράλληλη προς την κορυφή ή τον πυθμένα του στερεού, η επιφάνεια της διατομής είναι l × w. Εάν το επίπεδο κοπής είναι παράλληλο με ένα από τα δύο θέτει τις πλευρές, η περιοχή διατομής δίνεται αντ 'αυτού από l × h ή w × h.

Εάν η διατομή δεν είναι κάθετη σε οποιονδήποτε άξονα συμμετρίας, το σχήμα που δημιουργείται μπορεί να είναι ένα τρίγωνο (εάν τοποθετηθεί μέσω μιας γωνίας του στερεού) ή ακόμη και ενός εξαγώνου.

Παράδειγμα: Υπολογίστε την περιοχή διατομής ενός επιπέδου κάθετα προς τη βάση ενός κύβου με όγκο 27 m³.

• Δεδομένου ότι l = w = h για έναν κύβο, οποιοδήποτε άκρο του κύβου πρέπει να έχει μήκος 3 m (από το 3

  × 3 

  × 3 = 27). Μια διατομή του τύπου που περιγράφεται θα ήταν επομένως τετράγωνο 3 m από την πλευρά, δίνοντας εμβαδόν 9 m².

Ένας κύλινδρος είναι ένα στερεό που δημιουργείται με την επέκταση ενός κύκλου σε διάστημα κάθετο στη διάμετρο του. Η περιοχή ενός κύκλου δίνεται από τον τύπο πr², όπου r είναι η ακτίνα. Είναι συνεπώς λογικό ότι ο όγκος ενός κυλίνδρου θα ήταν η περιοχή ενός από τους κύκλους που σχηματίζουν τη βάση του.

Εάν η διατομή είναι παράλληλη με τον άξονα συμμετρίας, τότε η περιοχή της διατομής είναι απλά ένας κύκλος με μια περιοχή πr². Εάν το επίπεδο κοπής εισαχθεί σε διαφορετική γωνία, το σχήμα που δημιουργείται είναι μια έλλειψη. Η περιοχή χρησιμοποιεί τον αντίστοιχο τύπο: πab (όπου a είναι η μεγαλύτερη απόσταση από το κέντρο της έλλειψης έως την άκρη και το β είναι η μικρότερη).

Παράδειγμα: Ποια είναι η διατομή του σωλήνα κάτω από το σπίτι σας που περιγράφεται στην εισαγωγή;

• Αυτό είναι μόνο πr² = π (0,15 m)²=

  π (0,0225) μ² = 0,071 μ². Σημειώστε ότι το μήκος του σωλήνα δεν σχετίζεται με αυτόν τον υπολογισμό.

Κάθε θεωρητικό επίπεδο που τοποθετείται μέσω μιας σφαίρας θα έχει ως αποτέλεσμα έναν κύκλο (σκεφτείτε το για λίγα λεπτά). Εάν γνωρίζετε είτε τη διάμετρο είτε την περιφέρεια του κύκλου σχηματίζεται η διατομή, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις σχέσεις C = 2πr και A = πr² για να λάβετε μια λύση.

Παράδειγμα: Ένα αεροπλάνο εισάγεται ακατέργαστα μέσω της Γης πολύ κοντά στον Βόρειο Πόλο, αφαιρώντας ένα τμήμα του πλανήτη 10 μέτρα περίπου. Ποια είναι η διατομή αυτής της ψυχρής φέτας της Γης;

• Επειδή C = 2πr = 10 m, r = 10 / 2π = 1,59 m; Α = πρ²= π(1.59)²= 7,96 μ².