Η τριγωνομετρία μπορεί να αισθάνεται σαν ένα πολύ αφηρημένο θέμα. Οι αρχαίοι όροι όπως «αμαρτία» και «cos» δεν φαίνεται να αντιστοιχούν σε τίποτα στην πραγματικότητα και είναι δύσκολο να τους κατανοήσουμε ως έννοιες. Ο κύκλος μονάδας βοηθά ουσιαστικά σε αυτό, προσφέροντας μια απλή εξήγηση για τους αριθμούς που παίρνετε όταν παίρνετε το ημίτονο, το συνημίτονο ή την εφαπτομένη μιας γωνίας. Για όλους τους μαθητές της επιστήμης ή των μαθηματικών, η κατανόηση του κύκλου μονάδας μπορεί πραγματικά να ενισχύσει την κατανόησή σας για την τριγωνομετρία και τον τρόπο χρήσης των συναρτήσεων.
TL; DR (Πάρα πολύ καιρό; Δεν διαβάστηκε)
Ένας κύκλος μονάδας έχει ακτίνα ενός. Φανταστείτε έναxyσύστημα συντεταγμένων ξεκινώντας από το κέντρο αυτού του κύκλου. Οι γωνίες σημείου μετρούνται από το πού είναιΧ= 1 καιε= 0, στη δεξιά πλευρά του κύκλου. Οι γωνίες αυξάνονται καθώς κινείτε αριστερόστροφα.
Χρησιμοποιώντας αυτό το πλαίσιο, καιεγια τοε-συντεταγμένο καιΧγια τοΧ-συντεταγμένη του σημείου στον κύκλο:
αμαρτίαθ = ε
συνθ = Χ
Και συνεπώς:
ηλιοκαμένοςθ = ε / Χ
Τι είναι ο κύκλος μονάδας;
Ένας κύκλος «μονάδας» έχει ακτίνα 1. Με άλλα λόγια, η απόσταση από το κέντρο του κύκλου έως οποιοδήποτε μέρος της άκρης είναι πάντα 1. Η μονάδα μέτρησης δεν έχει σημασία, γιατί το πιο σημαντικό πράγμα για τον κύκλο μονάδας είναι ότι κάνει πολλές εξισώσεις και υπολογισμούς πολύ πιο απλούς.
Χρησιμεύει επίσης ως χρήσιμη βάση για την εξέταση των ορισμών των γωνιών. Φανταστείτε ότι το κέντρο του κύκλου βρίσκεται στο κέντρο ενός συστήματος συντεταγμένων με έναΧ- άξονας που λειτουργεί οριζόντια και αε- άξονας που λειτουργεί κάθετα. Ο κύκλος διασχίζει τοΧ- άξονας στιςΧ = 1, ε= 0. Οι επιστήμονες και οι μαθηματικοί καθορίζουν τη γωνία από εκείνο το σημείο που κινείται προς την αριστερόστροφη κατεύθυνση. Λοιπόν το θέμαΧ =1, ε= 0 στον κύκλο είναι υπό γωνία 0 °.
Οι Ορισμοί της Αμαρτίας και του Κόσμου με τον Κύκλο της Μονάδας
Οι συνηθισμένοι ορισμοί της αμαρτίας, του μαυρίσματος και του μαύρου που δίδονται στους μαθητές σχετίζονται με τρίγωνα. Δηλώνουν:
\ sin θ = \ frac {\ text {απέναντι}} {\ text {hypotenuse}} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ text {δίπλα}} {\ text {hypotenuse}} \\ \, \\ \ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
Το «αντίθετο» αναφέρεται στο μήκος της πλευράς του τριγώνου απέναντι από τη γωνία, το «παρακείμενο» αναφέρεται στο το μήκος της πλευράς δίπλα στη γωνία και η «υπόταση» αναφέρεται στο μήκος της διαγώνιας πλευράς του τρίγωνο.
Φανταστείτε να δημιουργήσετε ένα τρίγωνο έτσι ώστε η υποτείνουσα να ήταν πάντα η ακτίνα του κύκλου μονάδας, με μία γωνία στην άκρη του κύκλου και μία στο κέντρο της. Αυτό σημαίνει ότι hypotenuse = 1 στις παραπάνω εξισώσεις, έτσι οι δύο πρώτες γίνονται:
\ sin θ = \ frac {\ text {απέναντι}} {1} = \ κείμενο {απέναντι} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ κείμενο {γειτονικά}} {1} = \ κείμενο {δίπλα} \\
Εάν κάνετε την εν λόγω γωνία εκείνη στο κέντρο του κύκλου, το αντίθετο είναι ακριβώς τοε-συντεταγμένο και το παρακείμενο είναι ακριβώς τοΧ-συντεταγμένη του σημείου στον κύκλο που αγγίζει το τρίγωνο. Με άλλα λόγια, η αμαρτία επιστρέφει τοε-συντεταγμένη στον κύκλο μονάδας (χρησιμοποιώντας συντεταγμένες που ξεκινούν από το κέντρο) για μια δεδομένη γωνία και το cos επιστρέφει τοΧ-συντεταγμένη. Γι 'αυτό cos (0) = 1 και sin (0) = 0, γιατί σε αυτό το σημείο αυτές είναι οι συντεταγμένες. Ομοίως, cos (90) = 0 και sin (90) = 1, γιατί αυτό είναι το σημείο μεΧ= 0 καιε= 1. Σε μορφή εξίσωσης:
\ sin θ = y \\ \ cos θ = x
Οι αρνητικές γωνίες είναι επίσης κατανοητές βάσει αυτού. Οι αρνητικές γωνίες (μετρούνται δεξιόστροφα από το σημείο εκκίνησης) έχουν τις ίδιεςΧσυντονιστεί ως η αντίστοιχη θετική γωνία, έτσι:
\ cos -θ = \ cos θ
Ωστόσο, τοε- διακόπτες συντεταγμένων, που σημαίνει ότι
\ sin -θ = - \ sin θ
Ο ορισμός του μαύρου με τον κύκλο μονάδας
Ο ορισμός του μαύρου που δίνεται παραπάνω είναι:
\ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
Αλλά με τους ορισμούς του κύκλου μονάδας για την αμαρτία και το cos, μπορείτε να δείτε ότι αυτό ισοδυναμεί με:
\ tan θ = \ frac {\ text {απέναντι}} {\ text {δίπλα}}
Ή, σκεπτόμενος ως προς τις συντεταγμένες:
\ tan θ = \ frac {y} {x}
Αυτό εξηγεί γιατί το μαύρισμα είναι ακαθόριστο για 90 ° ή 70270 ° και 270 ° ή °90 ° (όπουΧ= 0), επειδή δεν μπορείτε να διαιρέσετε με μηδέν.
Γράφημα τριγωνομετρικών συναρτήσεων
Η απεικόνιση της αμαρτίας ή του κοσμού γίνεται ευκολότερη όταν σκέφτεστε τον κύκλο της μονάδας. οΧ-Η συντεταγμένη ποικίλλει ομαλά καθώς κινείστε γύρω από τον κύκλο, ξεκινώντας από το 1 και μειώνεται στο ελάχιστο −1 στις 180 °, και στη συνέχεια αυξάνεται με τον ίδιο τρόπο. Η συνάρτηση sin κάνει το ίδιο πράγμα, αλλά αυξάνεται σε μέγιστη τιμή 1 στους 90 ° πρώτα, προτού ακολουθήσει το ίδιο μοτίβο. Οι δύο λειτουργίες λέγεται ότι είναι 90 ° εκτός «φάσης» μεταξύ τους.
Το μαύρισμα γραφικών απαιτεί διαχωρισμόεμεΧ, και έτσι είναι πιο περίπλοκο στο γράφημα, και έχει επίσης σημεία όπου είναι απροσδιόριστο.