Μια περιοδική συνάρτηση είναι μια συνάρτηση που επαναλαμβάνει τις τιμές της σε κανονικά διαστήματα ή «περιόδους». Σκέφτομαι μοιάζει με καρδιακό παλμό ή τον υποκείμενο ρυθμό σε ένα τραγούδι: Επαναλαμβάνει την ίδια δραστηριότητα σε ένα σταθερό ρυθμό. Το γράφημα μιας περιοδικής συνάρτησης μοιάζει να επαναλαμβάνεται ένα μοτίβο ξανά και ξανά.
TL; DR (Πάρα πολύ καιρό; Δεν διαβάστηκε)
Μια περιοδική συνάρτηση επαναλαμβάνει τις τιμές της σε κανονικά διαστήματα ή «περιόδους».
Τύποι περιοδικών συναρτήσεων
Οι πιο διάσημες περιοδικές συναρτήσεις είναι τριγωνομετρικές συναρτήσεις: ημιτονοειδές, συνημίτονο, εφαπτομενικό, συντεταγμένο, διαχωριστικό, κοκκομετρικό κλπ. Άλλα παραδείγματα περιοδικών λειτουργιών στη φύση περιλαμβάνουν φως κύματα, ηχητικά κύματα και φάσεις της σελήνης. Καθένα από αυτά, όταν απεικονίζεται στο επίπεδο συντεταγμένων, κάνει ένα επαναλαμβανόμενο μοτίβο στο ίδιο διάστημα, καθιστώντας εύκολο να προβλεφθεί.
Η περίοδος μιας περιοδικής συνάρτησης είναι το διάστημα μεταξύ δύο σημείων «αντιστοίχισης» στο γράφημα. Με άλλα λόγια, είναι η απόσταση κατά μήκος του
Χ-αξίζει ότι η συνάρτηση πρέπει να ταξιδέψει πριν αρχίσει να επαναλαμβάνει το μοτίβο της. Οι βασικές λειτουργίες ημιτονοειδούς και συνημίτου έχουν περίοδο 2π, ενώ η εφαπτομένη έχει περίοδο π.Ένας άλλος τρόπος για να κατανοήσετε την περίοδο και την επανάληψη για τις συναρτήσεις trig είναι να τα σκεφτείτε από την άποψη του κύκλου μονάδας. Στον κύκλο μονάδας, οι τιμές μετακινούνται γύρω και γύρω από τον κύκλο όταν αυξάνονται σε μέγεθος. Αυτή η επαναλαμβανόμενη κίνηση είναι η ίδια ιδέα που αντανακλάται στο σταθερό μοτίβο μιας περιοδικής συνάρτησης. Και για το ημίτονο και το συνημίτονο, πρέπει να κάνετε μια πλήρη διαδρομή γύρω από τον κύκλο (2π) πριν αρχίσουν να επαναλαμβάνονται οι τιμές.
Εξίσωση για μια περιοδική συνάρτηση
Μια περιοδική συνάρτηση μπορεί επίσης να οριστεί ως εξίσωση με αυτήν τη φόρμα:
f (x + nP) = f (x)
ΟπουΠείναι η περίοδος (μη μηδενική σταθερά) καινείναι θετικός ακέραιος.
Για παράδειγμα, μπορείτε να γράψετε τη συνάρτηση ημιτονοειδούς με αυτόν τον τρόπο:
\ sin (x + 2π) = \ sin (x)
ν= 1 σε αυτήν την περίπτωση και την περίοδο,Π, για μια ημιτονοειδής συνάρτηση είναι 2π.
Δοκιμάστε το δοκιμάζοντας μερικές τιμές γιαΧή δείτε το γράφημα: Επιλέξτε οποιοδήποτεΧ-τιμήστε και μετά μετακινήστε 2π προς οποιαδήποτε κατεύθυνση κατά μήκος τουΧ-άξονας; οε-Η τιμή πρέπει να παραμείνει η ίδια.
Τώρα δοκιμάστε το πότεν = 2:
\ sin (x + (2 × 2π)) = \ sin (x) \\ \ sin (x + 4π) = \ sin (x)
Υπολογίστε για διαφορετικές τιμές τουΧ: Χ = 0, Χ = π, Χ= π / 2 ή ελέγξτε το στο γράφημα.
Η συντεταγμένη συνάρτηση ακολουθεί τους ίδιους κανόνες, αλλά η περίοδος της είναι π ακτίνια αντί για 2π ακτίνια, οπότε το γράφημα και η εξίσωσή του μοιάζουν με αυτό:
\ cot (x + nπ) = \ cot (x)
Παρατηρήστε ότι οι εφαπτομενικές και συντεταγμένες συναρτήσεις είναι περιοδικές, αλλά δεν είναι συνεχείς: Υπάρχουν "διαλείμματα" στα γραφήματά τους.