Στα μαθηματικά, ένας αμοιβαίος αριθμός είναι ο αριθμός που, όταν πολλαπλασιάζεται με τον αρχικό αριθμό, παράγει 1. Για παράδειγμα, η αμοιβαιότητα για τη μεταβλητή x είναι 1 /Χ, επειδή
x × \ frac {1} {x} = \ frac {x} {x} = 1
Σε αυτό το παράδειγμα, 1 /Χείναι η αμοιβαία ταυτότητα τουΧ, και αντίστροφα. Στην τριγωνομετρία, οποιαδήποτε από τις γωνίες των 90 μοιρών σε ένα δεξί τρίγωνο μπορεί να οριστεί με αναλογίες που ονομάζονται ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη. Εφαρμόζοντας την έννοια της αμοιβαίας ταυτότητας, οι μαθηματικοί ορίζουν τρεις ακόμη αναλογίες. Τα ονόματά τους είναι coscant, secant και coangangent. Το Cosecant είναι η αμοιβαία ταυτότητα του ημιτονοειδούς, που διακρίνεται από το συνημίτονο και το συντεταγμένο της εφαπτομένης.
Πώς να προσδιορίσετε αμοιβαίες ταυτότητες
Εξετάστε μια γωνίαθ, η οποία είναι μία από τις δύο γωνίες που δεν είναι 90 μοιρών σε ένα δεξί τρίγωνο. Εάν το μήκος της πλευράς του τριγώνου απέναντι από τη γωνία είναι "σι, "το μήκος της πλευράς που βρίσκεται δίπλα στη γωνία και απέναντι από τους υποτελείς είναι"
ένα"και το μήκος της υποτενούς χρήσης είναι"ρ, "μπορούμε να ορίσουμε τους τρεις κύριους τριγωνομετρικούς λόγους σε σχέση με αυτά τα μήκη.\ text {sine} θ = \ sin θ = \ frac {b} {r} \\ \, \\ \ text {cosine} θ = \ cos θ = \ frac {a} {r} \\ \, \\ \ text {εφαπτομένη} θ = \ μαύρισμα θ = \ frac {b} {a} \\
Η αμοιβαία ταυτότητα της αμαρτίαςθπρέπει να είναι ίσο με 1 / sin θ, καθώς αυτός είναι ο αριθμός που, όταν πολλαπλασιάζεται με την αμαρτίαθ, παράγει 1. Το ίδιο ισχύει και για το cosθκαι μαύρισμαθ. Οι μαθηματικοί δίνουν σε αυτά τα αμοιβαία ονόματα cosecant, secant και coangangent αντίστοιχα. Εξ ορισμού:
\ text {cosecant} θ = \ csc θ = \ frac {1} {\ sin θ} \\ \, \\ \ κείμενο {secant} θ = \ δευτ θ = \ frac {1} {\ cos θ} \\ \, \\ \ text {cotangent} θ = \ cot θ = \ frac {1} {\ tan θ}
Μπορείτε να ορίσετε αυτές τις αμοιβαίες ταυτότητες ως προς τα μήκη των πλευρών του δεξιού τριγώνου ως εξής:
\ csc θ = \ frac {r} {b} \\ \, \\ \ sec θ = \ frac {r} {a} \\ \, \\ \ cot θ = \ frac {a} {b}
Οι ακόλουθες σχέσεις ισχύουν για οποιαδήποτε γωνίαθ:
\ sin θ × \ csc θ = 1 \\ \ cos θ × \ δευτ θ = 1 \\ \ tan θ × \ cot θ = 1
Δύο άλλες τριγωνομετρικές ταυτότητες
Εάν γνωρίζετε το ημίτονο και το συνημίτονο μιας γωνίας, μπορείτε να αντλήσετε την εφαπτομένη. Αυτό ισχύει επειδή
\ sin θ = \ frac {b} {r} \ κείμενο {και} \ cos θ = \ frac {a} {r} \ κείμενο {, έτσι} \ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ frac {b} {r} × \ frac {r} {a} = \ frac {b} {α}
Δεδομένου ότι αυτός είναι ο ορισμός του tan θ, ακολουθεί η ακόλουθη ταυτότητα, γνωστή ως πηλίκα ταυτότητα:
\ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ tan θ \\ \, \\ \ frac {\ cos θ} {\ sin θ} = \ cot θ
Η Πυθαγόρεια ταυτότητα προκύπτει από το γεγονός ότι, για κάθε σωστό τρίγωνο με πλευρέςένακαισικαι υποτείνουσαρ, ισχύει το ακόλουθο:ένα2 + σι2 = ρ2. Αναδιάταξη όρων και καθορισμός αναλογιών όσον αφορά το ημίτονο και το συνημίτονο, φτάνετε στην ακόλουθη έκφραση:
\ sin ^ 2 θ + \ cos ^ 2 θ = 1
Ακολουθούν δύο άλλες σημαντικές σχέσεις όταν εισάγετε αμοιβαίες ταυτότητες για ημίτονο και συνημίτονο στην παραπάνω έκφραση:
\ tan ^ 2 θ + 1 = \ sec ^ 2 θ \\ \ cot ^ 2 θ + 1 = \ csc ^ 2 θ