Οι περισσότεροι άνθρωποι θυμούνται τοΠυθαγόρειο θεώρημααπό αρχάριους γεωμετρία - είναι ένα κλασικό. Του
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2
όπουένα, σικαιντοείναι οι πλευρές ενός δεξιού τριγώνου (ντοείναι η υπόταση). Λοιπόν, αυτό το θεώρημα μπορεί επίσης να ξαναγραφεί για τριγωνομετρία!
TL; DR (Πάρα πολύ καιρό; Δεν διαβάστηκε)
TL; DR (Πάρα πολύ καιρό; Δεν διαβάστηκε)
Οι Πυθαγόρειες ταυτότητες είναι εξισώσεις που γράφουν το Πυθαγόρειο Θεώρημα από την άποψη των συναρτήσεων trig.
Το κύριοΠυθαγόρειες ταυτότητεςείναι:
\ sin ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1 \\ 1 + \ tan ^ 2 (θ) = \ sec ^ 2 (θ) \\ 1 + \ cot ^ 2 (θ) = \ csc ^ 2 (θ)
Οι Πυθαγόρειες ταυτότητες είναι παραδείγματατριγωνομετρικές ταυτότητες: εξισώσεις (εξισώσεις) που χρησιμοποιούν τριγωνομετρικές συναρτήσεις.
Γιατί έχει σημασία?
Οι Πυθαγόρειες ταυτότητες μπορεί να είναι πολύ χρήσιμες για την απλοποίηση περίπλοκων δηλώσεων trig και εξισώσεων. Απομνημονεύστε τα τώρα και μπορείτε να εξοικονομήσετε πολύ χρόνο στο δρόμο!
Απόδειξη χρησιμοποιώντας τους ορισμούς των συναρτήσεων trig
Αυτές οι ταυτότητες είναι αρκετά απλές για να αποδειχθούν εάν σκέφτεστε τους ορισμούς των συναρτήσεων trig. Για παράδειγμα, ας το αποδείξουμε αυτό
\ sin ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1
Θυμηθείτε ότι ο ορισμός του ημιτονοειδούς είναι αντίθετη πλευρά / υποτείνουσα και ότι το συνημίτονο είναι παρακείμενη πλευρά / υποτείνουσα
Έτσι
\ sin ^ 2 = \ frac {\ text {απέναντι} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2}
Και
\ cos ^ 2 = \ frac {\ text {δίπλα} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2}
Μπορείτε εύκολα να προσθέσετε αυτά τα δύο μαζί, επειδή οι παρονομαστές είναι οι ίδιοι.
\ sin ^ 2 + \ cos ^ 2 = \ frac {\ text {απέναντι} ^ 2 + \ κείμενο {δίπλα} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2}
Τώρα ρίξτε μια άλλη ματιά στο Πυθαγόρειο Θεώρημα. Λέει ότιένα2 + σι2 = ντο2. Εχε στο νου σου οτιένακαισισταθεί για τις αντίθετες και παρακείμενες πλευρές, καιντοσημαίνει την υποτείνουσα.
Μπορείτε να αναδιατάξετε την εξίσωση διαιρώντας και τις δύο πλευρέςντο2:
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \\ \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = 1
Απόένα2 καισι2 είναι οι αντίθετες και παρακείμενες πλευρές καιντο2 είναι η υποτελής χρήση, έχετε μια ισοδύναμη δήλωση με την παραπάνω, με (αντίθετο2 + δίπλα2) / υπόταση2. Και χάρη στην εργασία μεένα, σι, ντοκαι το Πυθαγόρειο Θεώρημα, μπορείτε τώρα να δείτε ότι αυτή η δήλωση ισούται με 1!
Έτσι
\ frac {\ text {απέναντι} ^ 2 + \ κείμενο {παρακείμενο} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2} = 1
και ως εκ τούτου:
\ sin ^ 2 + \ cos ^ 2 = 1
(Και είναι καλύτερο να το γράψετε σωστά: αμαρτία2(θ) + συν2(θ) = 1).
Οι αμοιβαίες ταυτότητες
Ας περάσουμε λίγα λεπτά κοιτάζοντας τοαμοιβαίες ταυτότητεςεπισης. Θυμηθείτε ότι τοαμοιβαίοςείναι ένα διαιρούμενο με ("πάνω") τον αριθμό σας - επίσης γνωστό ως αντίστροφο.
Επειδή το cosecant είναι το αντίστροφο του ημιτονοειδούς:
\ csc (θ) = \ frac {1} {\ sin (θ)}
Μπορείτε επίσης να σκεφτείτε cosecant χρησιμοποιώντας τον ορισμό του ημιτονοειδούς. Για παράδειγμα, ημιτονοειδής = αντίθετη πλευρά / υποτείνουσα. Το αντίστροφο από αυτό θα είναι το κλάσμα που αναποδογυρίζεται ανάποδα, που είναι υπότενση / αντίθετη πλευρά.
Ομοίως, η αμοιβαιότητα του συνημίτονου είναι ακινητοποιημένη, έτσι ορίζεται ως
\ sec (θ) = \ frac {1} {\ cos (θ)} \ κείμενο {ή} \ frac {\ κείμενο {hypotenuse}} {\ text {παρακείμενη πλευρά}}
Και η αμοιβαία εφαπτομένη είναι ομοιόμορφη, έτσι
\ cot (θ) = \ frac {1} {\ tan (θ)} = \ frac {\ text {δίπλα στην πλευρά}} {\ text {απέναντι πλευρά}}
Τα αποδεικτικά στοιχεία για τις ταυτότητες των Πυθαγορείων που χρησιμοποιούν τομή και το κοκκομετρικό είναι πολύ παρόμοια με αυτά του ημιτονοειδούς και συνημίτονου. Μπορείτε επίσης να εξαγάγετε τις εξισώσεις χρησιμοποιώντας την «γονική» εξίσωση, sin2(θ) + συν2(θ) = 1. Χωρίστε και τις δύο πλευρές με cos2(θ) για να αποκτήσετε την ταυτότητα 1 + μαύρισμα2(θ) = δευτ2(θ). Χωρίστε και τις δύο πλευρές με αμαρτία2(θ) για να αποκτήσετε την ταυτότητα 1 + βρεφική κούνια2(θ) = csc2(θ).
Καλή τύχη και φροντίστε να απομνημονεύσετε τις τρεις Πυθαγόρειες ταυτότητες!