Πώς να βρείτε την περίοδο μιας συνάρτησης

Όταν γράφετε τριγωνομετρικές συναρτήσεις, ανακαλύπτετε ότι είναι περιοδικές. Δηλαδή, παράγουν αποτελέσματα που επαναλαμβάνονται προβλέψιμα. Για να βρείτε την περίοδο μιας δεδομένης συνάρτησης, χρειάζεστε κάποια εξοικείωση με κάθε μία και πώς οι παραλλαγές στη χρήση τους επηρεάζουν την περίοδο. Μόλις αναγνωρίσετε τον τρόπο λειτουργίας τους, μπορείτε να διαχωρίσετε τις λειτουργίες trig και να βρείτε την περίοδο χωρίς προβλήματα.

TL; DR (Πάρα πολύ καιρό; Δεν διαβάστηκε)

Η περίοδος των ημιτονοειδών και συνημιτόνων είναι 2π (π) ακτίνια ή 360 μοίρες. Για τη συνάρτηση εφαπτομένης, η περίοδος είναι π ακτίνια ή 180 μοίρες.

Όταν τα σχεδιάζετε σε γράφημα, οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις παράγουν τακτικά επαναλαμβανόμενα σχήματα κυμάτων. Όπως κάθε κύμα, τα σχήματα έχουν αναγνωρίσιμα χαρακτηριστικά όπως κορυφές (υψηλά σημεία) και κοιλότητες (χαμηλά σημεία). Η περίοδος σας λέει τη γωνιακή «απόσταση» ενός πλήρους κύκλου του κύματος, που συνήθως μετράται μεταξύ δύο γειτονικών κορυφών ή κοιλότητας. Για αυτόν τον λόγο, στα μαθηματικά, μετράτε την περίοδο μιας συνάρτησης σε μονάδες γωνίας. Για παράδειγμα, ξεκινώντας από μια γωνία μηδέν, η ημιτονοειδής λειτουργία παράγει μια ομαλή καμπύλη που ανέρχεται στο μέγιστο 1 στα π / 2 ακτίνια (90 μοίρες), διασχίζει το μηδέν σε π ακτίνια (180 μοίρες), μειώνεται στο ελάχιστο −1 στα 3π / 2 ακτίνια (270 μοίρες) και φτάνει ξανά στο μηδέν στα 2π ακτίνια (360 βαθμούς). Μετά από αυτό το σημείο, ο κύκλος επαναλαμβάνεται επ 'αόριστον, παράγοντας τα ίδια χαρακτηριστικά και τιμές όπως η γωνία αυξάνεται στο θετικό

Οι λειτουργίες ημιτονοειδούς και συνημίτου έχουν και οι δύο ακτίνια 2π. Η λειτουργία συνημίτονο μοιάζει πολύ με το ημιτονοειδές, εκτός από το ότι βρίσκεται «μπροστά» από το ημίτονο από π / 2 ακτίνια. Η ημιτονοειδής συνάρτηση παίρνει την τιμή του μηδέν σε μηδέν βαθμούς, όπου καθώς το συνημίτονο είναι 1 στο ίδιο σημείο.

Παίρνετε τη συνάρτηση εφαπτομένης διαιρώντας το ημίτονο με το συνημίτονο. Η περίοδος του είναι π ακτίνια ή 180 μοίρες. Το γράφημα της εφαπτομένης (Χ) είναι μηδέν σε γωνία μηδέν, καμπύλες προς τα πάνω, φτάνει το 1 στα π / 4 ακτίνια (45 μοίρες), και μετά στρέφεται προς τα πάνω και πάλι όπου φτάνει ένα σημείο διαίρεσης-μηδέν στα π / 2 ακτίνια. Η συνάρτηση γίνεται τότε αρνητικό άπειρο και εντοπίζει μια εικόνα καθρέφτη κάτω από το ε άξονα, φτάνοντας −1 στα 3π / 4 ακτίνια, και διασχίζει το ε άξονας π ακτινίων. Αν και έχει Χ τιμές στις οποίες γίνεται απροσδιόριστη, η εφαπτομένη συνάρτηση έχει ακόμη μια καθορισμένη περίοδο.

Οι τρεις άλλες συναρτήσεις trig, cosecant, secant και cotangent, είναι οι αμοιβαίες τιμές ημιτονοειδούς, συνημίτονου και εφαπτομένου, αντίστοιχα. Με άλλα λόγια, cosecant (Χ) είναι 1 / αμαρτία (Χ), απόσπασμα (Χ) = 1 / cos (Χ) και βρεφική κούνια (Χ) = 1 / μαύρισμα (Χ). Αν και τα γραφήματά τους έχουν απροσδιόριστα σημεία, οι περίοδοι για καθεμία από αυτές τις συναρτήσεις είναι ίδιες με αυτές για ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη.

Πολλαπλασιάζοντας το Χ σε μια τριγωνομετρική συνάρτηση με μια σταθερά, μπορείτε να συντομεύσετε ή να παρατείνετε την περίοδο. Για παράδειγμα, για τη συνάρτηση sin (2_x_), η περίοδος είναι το μισό της κανονικής της τιμής, επειδή το όρισμα Χ διπλασιάζεται. Φτάνει το πρώτο του μέγιστο σε π / 4 ακτίνια αντί για π / 2 και ολοκληρώνει έναν πλήρη κύκλο σε π ακτίνια. Άλλοι παράγοντες που συνήθως βλέπετε με τις λειτουργίες trig περιλαμβάνουν αλλαγές στη φάση και το πλάτος, όπου η φάση περιγράφει μια αλλαγή σε το σημείο εκκίνησης στο γράφημα και το πλάτος είναι η μέγιστη ή ελάχιστη τιμή της συνάρτησης, αγνοώντας το αρνητικό σύμβολο στο ελάχιστο. Η έκφραση, 4 × sin (2_x_ + π), για παράδειγμα, φτάνει στο 4 στο μέγιστο, λόγω του πολλαπλασιαστή 4, και ξεκινά κάμπτοντας προς τα κάτω αντί προς τα πάνω λόγω της προσθήκης π που προστίθεται στην περίοδο. Σημειώστε ότι ούτε οι 4 ούτε οι σταθερές π επηρεάζουν την περίοδο της συνάρτησης, μόνο το σημείο εκκίνησης και τις μέγιστες και ελάχιστες τιμές.